2022高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形A（含解析）

单元质检卷四　三角函数、解三角形(A)

(时间:60分钟　满分:76分)

一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是(　　)

A.y=sin x B.y=cosx

C.y=tan 2x D.y=|sin x|

2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,则|φ|的最小值为(　　)

A. B. C. D.

3.(2020河南洛阳一中测试)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sinα-=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期是2π

B.函数f(x)在区间上单调递减

C.函数f(x)的图象关于x=对称

D.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

5.(2020河南高三质检,11)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<,当f(x1)f(x2)=3时,|x1-x2|min=π,f(0)=,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为2π

B.函数f(x)的图象的一个对称中心为,0

C.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=

D.函数f(x)的图象可以由函数y=cos ωx的图象向右平移个单位长度得到

6.(2021北京朝阳期中,10)已知奇函数f(x)的定义域为-,且f'(x)是f(x)的导函数.若对任意x∈-,0,都有f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则满足f(θ)<2cos θ·f的θ的取值范围是(　　)

A.-

B.-,-∪

C.-

D.

二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.

7.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos2α+=　　　　. 

8.(2020河北邢台模拟,理15)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知A=,b=1,且(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),则a=　　　　　. 

三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(12分)已知函数f(x)=cos2x+sin(π-x)cos(π+x)-.

(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;

(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC的面积.

10.(12分)(2020福建福州模拟,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设bsin A=a(2+cos B).

(1)求B;

(2)若△ABC的面积等于,求△ABC的周长的最小值.

11.

(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;

(2)若c=,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.

参考答案

单元质检卷四　三角函数、

解三角形(A)

1.D　A选项的最小正周期为T==2π;B选项的最小正周期为T==4π;C选项的最小正周期为T=;D选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D.

2.A　由于函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,所以f=0,即2×+φ=kπ+,φ=kπ-(k∈Z).所以|φ|min=.

3.B　由三角函数的定义可知tanα=,由题可知α为第一象限角,∴cosα=,sinα-π=sinα-=-cosα=-.

4.B　函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=sin2x+,T==π,故A不正确;由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,则≤x≤,故函数f(x)在区间上单调递减,故B正确;x=时,y=sin2×≠±,故C不正确;由函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)=sin2x+,所以D不正确.故选B.

5.D　因为f(x)=sin(ωx+φ),所以f(x)max=,又f(x1)f(x2)=3,所以f(x1)=f(x2)=或f(x1)=f(x2)=-,因为|x1-x2|min=π,所以f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,故A错误;又f(0)=,所以sinφ=,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin2x+,令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为-,0(k∈Z),所以B错误;由2x++kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),故C错误;y=cos2x=sin2x+,向右平移个来单位长度得y=sin2x-+=sin2x+=f(x),故D正确,故选D.

6.D　构造函数g(x)=,

则g'(x)=,

因对任意x∈-,0,都有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以g'(x)<0,即函数g(x)在-,0上单调递减.

由f(θ)<2cosθ·f,得,所以θ>,又f(x)的定义域为-,则θ∈.

7.-　cos2α+=-sin2α

=-2sinαcosα=-

=-=-=-.

8.2　因为(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),所以(a2+4b2)c=8(b2+c2-a2).

又因为b=1,所以(a2+4b2)bc=8(b2+c2-a2),=8×=8cosA=4,即=4,解得a=2.

9.解(1)f(x)=cos2x-sinxcosx-

=sin2x-

=-sin2x-,

令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,和,π.

(2)由(1)知f(x)=-sin2x-,

∴f(A)=-sin2A-=-1,

∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<,∴-<2A-,

∴2A-,即A=.

∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,

∴S△ABC=bcsinA=.

10.解(1)因为bsinA=a(2+cosB),由正弦定理得sinBsinA=sinA(2+cosB).

因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinB-cosB=2,

所以2sinB-=2.因为B∈(0,π),所以B-,即B=.

(2)依题意,即ac=4.所以a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac≥3ac=12,所以b≥2,当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC的周长的最小值为4+2.

11.解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=,即cosC=-,由余弦定理可得=-,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.

(2)在△ABC中,由正弦定理可得,

∴,

即AC=2sinθ,BC=2sin.

∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin

=2sinθ+cosθ+

=2sinθ++.

又θ∈0,,

∴<θ+,当θ+,即θ=时,f(θ)取得最大值2+.