广西专用高考数学一轮复习单元质检4三角函数解三角形B含解析新人教A版理

单元质检四　三角函数、解三角形(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)

1.(2021湖北黄冈中学高三月考)在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(　　)

A. B. C.6 D.5

2.(2021山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P,则cos θ的值为(　　)

A. B.- 

C.- D.

3.(2021四川眉山三诊)已知函数f(x)=sin,若将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值是(　　)

A. B. C. D.

4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC的周长的取值范围是(　　)

A.(1,3] B.[2,4] 

C.(2,3] D.[3,5]

5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b B.b=2a 

C.A=2B D.B=2A

二、填空题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 

7.(2021全国Ⅱ)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件>0的最小正整数x为　　　　　. 

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

8.(14分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.

(1)求b,c的值;

(2)求sin(B-C)的值.

9.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.

10.(15分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.

(1)若∠ABC=15°,求CD;

(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积有最小值?求出最小值.

答案：

1.B　解析因为sinA=6sinB,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,

因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-2×1×6×,解得c=(负值舍去).

2.D　解析因为tan=tan=tan,

sin=sin=sin=-sin=-sin=-,所以2sin=-1,

所以P(,-1).

所以cosθ=.

3.B　解析函数f(x)=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,

得到y=sin,

再向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到g(x)=sin=sin,

由g(x)的图象关于y轴对称,

故-2φ-+kπ,k∈Z,即φ=-,k∈Z,

又φ>0,所以当k=-1时,φ取最小值,且最小值为-.

4.C　解析在△ABC中,由余弦定理可得2cosC=.

∵a=1,2cosC+c=2b,

∴+c=2b,

∴(b+c)2-1=3bc.

∵bc≤,

∴(b+c)2-1≤3×,

即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.

故a+b+c≤3.

∵b+c>a=1,

∴a+b+c>2.

故△ABC的周长的取值范围是(2,3].

5.A　解析∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,

∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,

∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinA·cosC,

∴2sinBcosC=sinAcosC,

又△ABC为锐角三角形,

∴2sinB=sinA,

由正弦定理,得a=2b.故选A.

6.　解析因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,

所以sinA=,sinC=,

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.

又因为,

所以b=.

7.2　解析由题图可知,f(x)的最小正周期T==π,

∴ω=±2.

当ω=2时,∵f=2,

∴2cos=2,

∴φ=-+2kπ,k∈Z.

当ω=-2时,∵f=2,

∴2cos=2,

∴φ=+2kπ,k∈Z.

∴f(x)=2cos.

∴f=f=0,f=f=2cos=1.

由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.

结合题中图象可知,满足f(x)>1的离y轴最近的正数区间为,无整数;

满足f(x)<0的离y轴最近的正数区间为,最小正整数x=2.

8.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

得b2=32+c2-2×3×c×.

因为b=c+2,

所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.

解得c=5,所以b=7.

(2)由B为△ABC的内角,又cosB=-得sinB=.

由正弦定理得sinC=sinB=.

在△ABC中,角B是钝角,

所以角C为锐角.

所以cosC=.

所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.

9.解(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,

所以2ω×=kπ+(k∈Z),

所以ω=+1(k∈Z).

因为ω∈,

所以-+1<(k∈Z),

所以-1<k<1(k∈Z),

所以k=0,ω=1,

所以f(x)=2sin.

(2)因为f=2sinB=,

所以sinB=.

因为B为锐角,

所以0<B<,所以cosB=.

因为cosB=,

所以,又b=,

所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,

所以ac≤3,当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,

所以△ABC面积的最大值为×3×.

10.解(1)在四边形ABCD中,因为AD⊥AB,∠BCD=120°,∠ABC=15°,所以∠ADC=135°,

由AD⊥AB,∠CAB=60°,可得∠CAD=90°-60°=30°,又AC=2,

由正弦定理得,解得CD=.

(2)由∠CAB=60°,AD⊥AB可得∠CAD=30°,又∠ADC=150°-θ,

所以在△ADC中,⇒DC=.

在△ABC中,⇒BC=,

所以△BCD的面积S△BCD=DC·BC·sin120°=×

.

又0°<θ<120°,

所以-60°<2θ-60°<180°,

所以当sin(2θ-60°)最大,即2θ-60°=90°,θ=75°时,S△BCD取最小值6-3.