第十讲  变量与函数

【知识梳理】

（一）变量与常量的概念

          点拨：（1）常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现；

（2）判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的数值是否发生变化；

（3）常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π。

（二）函数

     1.定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

2.函数值：y是x的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

3.函数解析式与自变量的取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.

注意：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．

(三)  函数的图像

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

2.函数的几种表达方式：

变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

　  （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

【经典例题】

【题型一、变量与函数】

【例1】如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有(    )．

     A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

【例2】下列等式中，是的函数有（    ）

A .1个      B.2个       C. 3个        D.4个

【题型二、函数解析式】

【例1】求出下列函数中自变量的取值范围

（1）     （2）        （3）

（4）     （5）      （6）

【例2】若与的关系式为，当＝时，的值为（      ）

    A．5          B．10          C．4          D．－4

【例3】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面积．

       (1)求与之间的函数关系式；

       (2)求自变量的取值范围．

【题型三、函数图像】

【例1】 星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．

（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？

（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？

（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？

【当堂检测】

1．如图，表示是的函数图象是（　　　）

1.              B.             C.             D.

2.下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S=πR²中，有关常量和变量的说法正确的是（　　　）

A．S，R²是变量，π是常量          B．S，R是变量，2是常量

C．S，R是变量，π是常量           D．S，R是变量，π和2是常量

3.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（　　　）

A．修车时间为15分钟             B．学校离家的距离为2000米

C．到达学校时共用时间20分钟     D．自行车发生故障时离家距离为1000米

4.如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（　　　）

5. 某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为　        　．

6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：①这是一次       　米赛跑；②甲、乙两人先到达终点的是       　；③在这次赛跑中甲的速度为       　，乙的速度为       　．

7. 一个函数的解析式，其中是的函数，为任意实数.

（1）若点A（－3，4）在这个函数的图像上，求实数；

（2）在（1）的条件上，判断点B（－4，7）是否在它的图像上.

8. 如图所示，正方形ABCD的边长为4 ，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1 的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为()，运动过程中△AEF的面积为，请写出用表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【课后练习】

1.函数y=+中自变量x的取值范围是（　　　）

A．x≤2      B．x≤2且x≠1     C．x＜2且x≠1       D．x≠1

2．矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（　　　）

A．       B．

C．      D．

3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（　　　）

5.已知等腰三角形的周长为60，底边长为，腰长为，则与之间的关系式及自变量的取值范围为_______.   

6. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用（元）与托运行李的质量（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，就可以免费托运．

7.如图,在靠墙(墙长为18m)的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，

（1）鸡场的长y(m)与宽x(m)的函数关系式

（2）并求自变量的取值范围为多少？

8.张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报.如图所示是据此情境画出的图象，请你回答下面的问题.

（1）张爷爷是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多长时间？

（2）该读报栏大约离家多少路程？

（3）张爷爷在哪一段路程走得最快？

（4）图象反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？