高考数学一轮复习考点规范练27数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版文

考点规范练27　数系的扩充与复数的引入

基础巩固

1.(2020全国Ⅱ,文2)(1-i)4=(　　)

A.-4 B.4 

C.-4i D.4i

答案:A

解析:(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A.

2.已知复数z=2-i,则z·的值为(　　)

A.5 B. C.3 D.

答案:A

解析:z·=(2-i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.

3.设z=i(2+i),则=(　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

答案:D

解析:z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D.

4.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)

A.1+2i B.1-2i

C.-1+2i D.-1-2i

答案:B

解析:设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.

5.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)

A.=-1-i B.=-1+i

C.||=2 D.||=

答案:D

解析:　=1-i,||=,选D.

6.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 C.3 D.4

答案:D

解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.

7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(　　)

A.2 B.-2 C.1+i D.1-i

答案:A

解析:由题意可知z2=1-i,

故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.

8.设z=1+i,则+z2等于(　　)

A.1+i B.-1+i C.-i D.-1-i

答案:A

解析:+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i.

9.若复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为(　　)

A.1 B.i 

C.2 D.2i

答案:A

解析:z=.

因为z是纯虚数,所以解得a=1,所以z的虚部为=1,故选A.

10.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数所对应的点在复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:B

解析:∵z1=2+2i,z2=1-3i,

∴==-i.

∴复数在复平面内所对应的点的坐标为,位于第二象限.故选B.

11.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是　　　　　. 

答案:-1

解析:(a+i)2=a2-1+2ai,

由题意知a2-1=0,且2a<0,即a=-1.

12.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=　　　　　. 

答案:-1-2i

解析:由题意,得z1=i,z2=2-i,

所以=-1-2i.

13.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)·|=　　　　　. 

答案:

解析:依题意得(1-z)·=(2+i)(-1+i)=-3+i,

则|(1-z)·|=|-3+i|=.

能力提升

14.若z=4+3i,则=(　　)

A.1 B.-1 C.i D.i

答案:D

解析:因为z=4+3i,所以|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故i,选D.

15.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则=(　　)

A.-1-i B.1+i 

C.1-i D.-1+i

答案:C

解析:∵z1=-1+3i,z2=1+i,

∴

==1-i.故选C.

16.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　. 

答案:5　2

解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,

则解得

则a2+b2=5,ab=2.

17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　　. 

答案:

解析:由复数相等的充要条件可得

化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,

由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4

=4sin2θ-3sinθ=4.

因为sinθ∈[-1,1],

所以4sin2θ-3sinθ∈.

所以λ的取值范围为.

18.在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第　　　　　象限. 

答案:四

解析:设z=x+yi,x,y∈R,则+x+yi=2-2i,

即+x+yi=2-2i,i=2-2i,

所以解得即z=i,

其对应点为,在第四象限.

高考预测

19.若是z的共轭复数,且满足(1-i)2=4+2i,则z=(　　)

A.-1+2i B.-1-2i 

C.1+2i D.1-2i

答案:B

解析:∵(1-i)2=4+2i,∴(-2i)=4+2i.

∴=(2+i)i=-1+2i.

∴z=-1-2i.故选B.