高考数学一轮复习考点规范练12函数与方程含解析新人教A版文

考点规范练12　函数与方程

基础巩固

1.若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号相同的是(　　)

A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f

答案:C

解析:本题实质考查二分法.

由题意知f(x)的零点在内,

可知f(0)与f(1)符号相同.

2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.,0 B.-2,0 C. D.0

答案:D

解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;

当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,

又因为x>1,所以此时方程无解.

综上可知函数f(x)的零点只有0,故选D.

3.函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在的区间为(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

答案:B

解析:函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.

∵f(x)在区间(0,+∞)内的图象是连续的,

且f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln3->0,

∴f(x)的零点所在区间为(1,2).故选B.

4.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3) B.(1,2)

C.(0,3) D.(0,2)

答案:C

解析:因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)内单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0.所以0<a<3.

5.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点(　　)

A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1 

C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1

答案:C

解析:由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.

6.函数f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:C

解析:令f(x)=0,得πcosx=kπ(k∈Z)⇒cosx=k(k∈Z),

所以k=0,1,-1.

若k=0,则x=或x=;

若k=1,则x=0或x=2π;

若k=-1,则x=π.故零点个数为5.

7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,函数y=f(x+1)-1为奇函数,则函数f(x)的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:B

解析:∵f(x)=x3+ax2+bx+1,

∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1

=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a.

∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.

∴f(x)=x3-3x2+2x+1.

∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1

=3.

经分析可知f(x)在区间内是增函数,在区间内是减函数,在区间内是增函数,且f>0,f>0,

∴函数f(x)的零点个数为1,故选B.

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 020x+log2 020x,则函数f(x)的零点个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:作出函数y=2020x和y=-log2020x的图象,如图所示,

可知函数f(x)=2020x+log2020x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.

又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.

9.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=在区间[0,4]上解的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.

∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又f(x)是偶函数,

∴f(x)的图象与y=的图象如图所示.

由图象可知f(x)=在区间[0,4]上解的个数是4.

故选D.

10.函数f(x)=cos在区间[0,π]的零点个数为　　　　　. 

答案:3

解析:令f(x)=cos=0,得3x++kπ,k∈Z,

∴x=,k∈Z.则在[0,π]的零点有.故有3个.

11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案:(0,1)

解析:因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).

12.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　　　　　　　. 

答案:x1<x2<x3

解析:令y1=2x,y2=lnx,y3=--1,y=-x,∵函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,即为函数y1=2x,y2=lnx,y3=--1与函数y=-x交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x1<x2<x3.

能力提升

13.已知函数f(x)=-x2+3x+a,g(x)=2x-x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-e,+∞) B.[-ln 2,+∞)

C.[-2,+∞) D.

答案:C

解析:令t=g(x),x∈[0,1],则g'(x)=2xln2-2x.

可知存在x0∈(0,1),使g'(x0)=0,则函数g(x)在区间[0,x0]上单调递增,在区间[x0,1]上单调递减.

故g(x)在x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)],且g(x0)=.

故f(g(x))≥0可转化为f(t)≥0,即a≥t2-3t.

又当x0∈[0,1]时,g(x0)=<2,

因为φ(t)=t2-3t在区间[1,2]上的最大值为φ(1)=φ(2),

所以φ(t)在区间[1,g(x0)]上的最大值为φ(1).

所以φ(t)max=φ(1)=1-3=-2.

所以a≥-2.故选C.

14.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(　　)

A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1)

C.f(1)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(1)<f(a)

答案:A

解析:由题意,知f'(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);

由题意,知g'(x)=+1>0在x∈(0,+∞)内恒成立,故函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,

所以函数g(x)的零点b∈(1,2).

综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,

所以f(a)<f(1)<f(b).

故选A.

15.若方程=k(x-2)+3有两个不等的实根,则k的取值范围是　　　　　　. 

答案:

解析:作出函数y1=和y2=k(x-2)+3的图象如图所示,函数y1的图象是圆心在原点,半径为2且在x轴上方的半圆(包括端点),函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线.因为点A(-2,0),则kPA=.

设直线PB是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径,得=2,得kPB=.

由图可知,当kPB<k≤kPA时,两个函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.故<k≤.

16.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为　　　　　. 

答案:8

解析:∵f(x+1)=-f(x),

∴f(x+2)=f(x).

又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图象如图所示,

在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,

可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.

高考预测

17.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)

A.- B. C. D.1

答案:C

解析:∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.

∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,

即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.