高考数学一轮复习考点规范练28数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版理

考点规范练28　数系的扩充与复数的引入

基础巩固

1.若z(1+i)=2i,则z=(　　)

A.-1-i B.-1+i 

C.1-i D.1+i

答案:D

解析:z==1+i.故选D.

2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=(　　)

A.0 B.1 

C. D.2

答案:D

解析:由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.

3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

答案:C

解析:设z=x+yi(x,y∈R).

因为z-i=x+(y-1)i,

所以|z-i|==1,

则x2+(y-1)2=1.故选C.

4.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 C.3 D.4

答案:D

解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.

5.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)

A=-1-i B=-1+i 

C.||=2 D.||=

答案:D

解析:=1-i,||=,故选D.

6.已知复数z满足iz=i+z,则z=(　　)

A.-i B.-i Ci Di

答案:C

解析:∵iz=i+z,∴(1-i)z=-i,即z=i.故选C.

7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(　　)

A.2 B.-2 C.1+i D.1-i

答案:A

解析:由题意可知z2=1-i,

故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.

8.若复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为(　　)

A.1 B.i C.2 D.2i

答案:A

解析:z=

因为z是纯虚数,所以解得a=1,所以z的虚部为=1,故选A.

9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数所对应的点在复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:B

解析:∵z1=2+2i,z2=1-3i,

=-i.

∴复数在复平面内所对应的点的坐标为,位于第二象限.故选B.

10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　　. 

答案:

解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=

11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=　　　　　. 

答案:-1-2i

解析:由题意,得z1=i,z2=2-i,

所以=-1-2i.

12.已知a∈R,i为虚数单位.若为实数,则a的值为　　　　　. 

答案:-2

解析:i为实数,

∴-=0,即a=-2.

能力提升

13.若z=1+2i,则=(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

答案:C

解析:由题意知=1-2i,则=i,故选C.

14.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则=(　　)

A.-1-i B.1+i C.1-i D.-1+i

答案:C

解析:∵z1=-1+3i,z2=1+i,

=1-i.故选C.

15.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　. 

答案:5　2

解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.

16.已知复数z=是z的共轭复数,则z=　　　　　　　　. 

答案:

解析:∵z==-i,

故=-i,

∴z

17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　　. 

答案:

解析:由复数相等的充要条件可得化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4,

因为sinθ∈[-1,1],

所以4sin2θ-3sin

所以λ的取值范围为

18.在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第　　　　　象限. 

答案:四

解析:设z=x+yi,x,y∈R,

则+x+yi=2-2i,

即+x+yi=2-2i,i=2-2i,

所以解得

即z=i,

其对应点为,在第四象限.

高考预测

19.若是z的共轭复数,且满足(1-i)2=4+2i,则z=(　　)

A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i

答案:B

解析:(1-i)2=4+2i,(-2i)=4+2i.

=(2+i)i=-1+2i.

∴z=-1-2i.故选B.