粤教版 (2019)选择性必修 第一册第四节 用单摆测量重力加速度导学案及答案

这是一份粤教版 (2019)选择性必修 第一册第四节 用单摆测量重力加速度导学案及答案，共10页。


一、实验器材
长约1 m的细线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺．
二、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2L,T2)．因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度．
用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期．
三、实验步骤
1．取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示．
实验装置示意图
2．用刻度尺测摆线长度L0，用游标卡尺测小球的直径d．测量多次，取平均值，计算摆长L＝L0＋eq \f(d,2)．
3．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝eq \f(t,N)．如此重复多次，取平均值．
4．改变摆长，重复实验多次．
5．将每次实验得到的L、T代入g＝eq \f(4π2L,T2)计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．
四、数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g＝eq \f(4π2L,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格．
2．图像法：由T＝2πeq \r(\f(L,g))得T2＝eq \f(4π2,g)L，作出T2­L图像，即以T2为纵轴，以L为横轴，其斜率k＝eq \f(4π2,g)．由图像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事项
1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm．
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变．
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°．
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．
5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
六、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等．
2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
【典例1】 (1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)．
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放．( )
②在摆球经过最低点时启动秒表计时．( )
③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期．( )
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图，该球的直径为________mm．根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大．
[解析] 单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件；因为最低点位置固定、容易观察，所以在摆球经过最低点时启动秒表计时；摆球一次全振动的时间太短，不易读准，误差大，应测多个周期的时间求平均值；由表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大．
[答案] (1)①是 ②是 ③否
(2)20.685(20.683～20.687均正确) 摆长
【典例2】 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是________．
为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2．(结果取两位有效数字)
[解析] 由T＝2πeq \r(\f(L,g))，可知g＝eq \f(4π2L,T2)．
由图可知：
摆长L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．
T＝eq \f(t,40)＝1.88 s．
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°．
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如答案图所示，则直线斜率k＝eq \f(ΔT2,ΔL)．由g＝eq \f(4π2ΔL,ΔT2)＝eq \f(4π2,k)，可得g＝9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)．
[答案] eq \f(4π2L,T2) 0.8750 1.88 s
(1)摆角小于5° (2)如图所示 9.8 m/s2(或9.9 m/s2)
【典例3】 甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度．
(1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置．
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________．(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t．请写出重力加速度的表达式g＝________．(用所测物理量表示)
③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示．将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v­t图线．
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s；
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2­L图线，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04L．由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2．(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
[解析] (1)①根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2)，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1 m左右的不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1 mm，故选a、d、f．
②因为T＝eq \f(t,n)，则g＝eq \f(4π2L,T2)＝eq \f(4π2n2L,t2)．
③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小．
(2)①由v­t图线可知，单摆的周期T＝2.0 s．
②由T＝2πeq \r(\f(L,g))，得T2＝eq \f(4π2,g)L，
即图线的斜率k＝eq \f(4π2,g)＝4.04，
解得g≈9.76 m/s2．
[答案] (1)①adf ②eq \f(4π2n2L,t2) ③偏小 (2)①2.0 ②9.76
1．某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验．某次用刻度尺测得摆线长为67.80 cm．用游标卡尺测得小球直径的读数如图甲所示，则小球直径为________cm；重复实验几次，改变摆线的长度L，用秒表测出相应的周期T，再以L为横坐标，T2为纵坐标作图，对应的图像应为图乙中的直线________(选填“1”“2”或“3”)．若已知直线的斜率为k，请写出重力加速度g的表达式________．
甲 乙
[解析] 根据游标卡尺的读数规律，直径为1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm；
根据公式g＝eq \f(4π2L,T2)，
可知，对应的图像应为图乙中的直线“2”；
因为g＝eq \f(4π2L,T2)，
斜率k＝eq \f(T2,L)，
所以重力加速度可表示为g＝eq \f(4π2,k)．
[答案] 1.640 2 eq \f(4π2,k)
2．某同学探究单摆周期与摆长的关系，他用分度值为1毫米的直尺测得摆线长为89.40 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，读数为________cm，摆长为________cm．用停表记录单摆做30次全振动所用的时间如图乙所示，停表读数为________s，如果测得的g值偏大，可能的原因是________(填选项前的字母)．
甲 乙
A．计算摆长时加的是摆球的直径
B．将摆球和摆线平放在桌面上，拉直后用米尺测出摆球球心到摆线某点O间的长度作为摆长
C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加(实验过程中先测摆长后测周期)
D．实验中误将30次全振动记为31次
[解析] 游标卡尺的主尺读数为2 cm，游标尺上第10个刻度和主尺上某一刻度对齐，所以游标尺读数为10×0.05 mm＝0.50 mm，所以最终读数为：2 cm＋0.050 cm＝2.050 cm；摆长为：89.40 cm＋eq \f(2.050,2) cm＝90.425 cm；由题图乙可知：秒表的读数t＝57.0 s．根据T＝2πeq \r(\f(L,g))，得g＝eq \f(4π2L,T2)．计算摆长时用的是摆线长加摆球的直径，则摆长的测量值偏大，重力加速度测量值偏大，故A正确；用米尺测出摆球球心到摆线某点O间的长度作为摆长使摆长的测量值偏小，重力加速度测量值偏小，故B错误；摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加，则摆长的测量值偏小，重力加速度测量值偏小，故C错误；实验中误将30次全振动记为31次，则周期的测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故D正确．
[答案] 2.050 90.425 57.0 AD
3．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L­T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________．请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(选填“增大”“偏小”或“相同”)．
[解析] 设摆球重心在其球心的下方x远处，
由T＝2πeq \r(\f(L,g))得，TA＝2πeq \r(\f(LA＋x,g))，TB＝2πeq \r(\f(LB＋x,g))，
由以上各式可得g＝eq \f(4π2LB－LA,T\\al(2,B)－T\\al(2,A))，
由T＝2πeq \r(\f(L,g))可得L＝eq \f(gT2,4π2)，可见在L­T2图中斜率k＝eq \f(g,4π2)，即得g＝4π2k，题中数据不改变，k也不会改变，g也不变．
[答案] eq \f(4π2LB－LA,T\\al(2,B)－T\\al(2,A)) 相同
4．某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示：
甲 乙
(1)实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________(填选项前的字母)．
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
(2)从悬点到小球重心的距离记为摆长l，通过不断改变摆长l的长度，该小组测得多组摆长l和对应的周期的平方T2，然后在图乙所给的坐标系中作出了l­T2图像，则根据图像可求得当地的重力加速度g＝________(用图乙中所给字母表示)．
[解析] (1)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得：g＝eq \f(4π2L,T2)．
以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则L偏大，测得的g偏大，故A正确；重力加速度与单摆所用摆球质量大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误．
(2)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))得：l＝eq \f(g,4π2)T2，则 k＝eq \f(g,4π2)＝eq \f(l2－l1,b2－b1)，解得g＝eq \f(4π2l2－l1,b2－b1)．
[答案] (1)AC (2)eq \f(4π2l2－l1,b2－b1)
5．用单摆测定重力加速度的实验中：
(1)应选用下列器材中的________(填选项前的字母)．
A．半径 1 cm 的木球
B．半径 1 cm 的实心钢球
C．1 m 左右的细线
D．30 cm 左右的细线
E．秒表、三角板、米尺
(2)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精确度有利的是________(填选项前的字母)．
A．适当加长摆线
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
C．质量相同、体积不同的摆球，选用体积较大的
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
(3)一端固定在房顶的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗的上沿到房顶的高度， 在线的下端系了一小球，发现当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗子上沿接触．打开窗子，让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图所示．
①为了测小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次小球从窗外向内运动到达最低点时数 1，同时开始计时，随后每次小球从外向内运动到最低点依次数 2、3、4…，数到 n 时， 手机上显示的时间为 t，则小球摆动的周期T为________；
②该同学用钢卷尺测量出摆动中小球球心到窗上沿的距离为50 cm．又测出小球摆动的周期是4.5 s，当地的重力加速度为 9.8 m/s2，则窗的上沿到房顶的高度约为________．
[解析] (1)单摆在摆动过程中，阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选钢球，故B正确，A错误；摆长不能过小，一般取1 m左右，故C正确，D错误．试验中要用到秒表测量周期，米尺测摆线的长度，三角板测摆球的直径，故E正确．
(2)单摆的摆长越长，周期越大，适当加长摆长，便于测量周期，故A正确；要减小空气阻力的影响，应选体积较小的摆球，故C错误；单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故B正确；单摆周期较小，把一次全振动的时间作为周期，测量误差较大，应采用累积法，测多个周期的时间取平均值作为单摆的周期，故D错误；
(3)①从小球第1次通过图中的最低点开始计时，第n次通过最低点用时t，故周期为：
T＝eq \f(t,n－1)．
②小摆的周期为：T1＝2πeq \r(\f(L,g))，
大摆周期为：T2＝2πeq \r(\f(L＋h,g))，其中有T＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(T1＋T2))，
联立解得h≈13.8 m．
[答案] (1)BCE (2)AB (3)①eq \f(t,n－1) ②13.8 m
实验次数
摆长L/m
周期T/s
加速度g/(m·s－2)
g的平均值
1
2
3
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
999.3
16.5
2.0
3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
6
501.1
16.5
1.4