高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.2 任意角的三角函数第二课时导学案及答案

第二课时　诱导公式五、六

我们容易计算像0、、这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？

[问题]　(1)－α与α的终边有什么关系？

(2)如何求＋α的三角函数值？

知识点　诱导公式五、六

公式五：sin＝cos_α，cos＝sin_α，sin＝cos_α，cos＝－sin_α．

归纳±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．

记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．

公式六：tan＝＝＝，tan＝＝＝－.α≠kπ且α≠kπ＋(k∈Z)．

1．若α∈，sin＝，则cos α＝________．

答案：

2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)＝________．

答案：－

[例1]　(链接教科书第169页例12)(1)已知tan α＝3，求的值；

(2)已知sin＝，求cos·sin的值．

[解]　(1)

＝＝

＝＝2.

(2)cos·sin

＝cos·sin

＝sin·sin＝×＝.

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；

(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．　　　　

[跟踪训练]

1．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选A　由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.

2．已知sin＝，则cos的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D　∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.

[例2]　(链接教科书第170页例13)化简：

－.

[解]　∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，

cos＝cos＝cos＝－sin α，

sin＝sin＝－sin

＝－cos α，

tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，

sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，

∴原式＝－＝－＋

＝＝＝1.

用诱导公式进行化简时的注意点

(1)化简后项数尽可能的少；

(2)函数的种类尽可能的少；

(3)分母不含三角函数的符号；

(4)能求值的一定要求值；

(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．　　　　

[跟踪训练]

化简：(1)·sincos；

(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．

解：(1)原式＝·sin(－sin α)

＝·(－sin α)

＝·(－cos α)(－sin α)

＝－cos2α.

(2)原式＝sin(－α－π)cos－sincos[－(2π－α)]

＝sin[－(α＋π)]cos＋sincos(2π－α)

＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α

＝sin2α＋cos2α

＝1.

[例3]　求证：

＝－tan α.

[证明]　左边＝

＝

＝

＝＝－＝－tan α＝右边．

∴原等式成立．

利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：

(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．　　　　

[跟踪训练]

求证：＝.

证明：左边＝

＝

＝

＝

＝＝.

右边＝＝.

∴左边＝右边，故原等式成立．

1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：选B　由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.

2．若cos(α＋π)＝－，则sin＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选A　因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin＝cos α＝.

3．sin 95°＋cos 175°的值为________．

解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)

＝cos 5°－cos 5°＝0.

答案：0