高中湘教版（2019）5.2 任意角的三角函数学案

这是一份高中湘教版（2019）5.2 任意角的三角函数学案，共8页。


因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．
[问题] 你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？




知识点 同角三角函数的基本关系
eq \a\vs4\al()
基本关系式的变形公式
sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.))
tan α＝eq \f(sin α,cs α)⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对∀x∈R，sin24x＋cs24x＝1.( )
(2)对∀x∈R，tan x＝eq \f(sin x,cs x).( )
(3)若cs α＝0，则sin α＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．化简 eq \r(1－sin2\f(π,5))的结果是( )
A．cseq \f(π,5) B．－cseq \f(π,5)
C．sineq \f(π,5) D．－sineq \f(π,5)
答案：A
3．已知cs α＝－eq \f(5,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则tan α＝________．
答案：eq \f(12,5)
4．化简：(1＋tan2α)·cs2α等于________．
答案：1
角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值
[例1] (链接教科书第164页例5、例6)(1)已知sin α＝eq \f(1,5)，求cs α，tan α 的值；
(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，求cs α的值．
[解] (1)∵sin α＝eq \f(1,5)＞0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(1,25))＝eq \f(2\r(6),5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(6),12)；
当α为第二象限角时，cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，tan α＝－eq \f(\r(6),12).
(2)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2， ①,sin2α＋cs2α＝1， ②))
由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，
∴cs2α＝eq \f(1,5)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) ，∴cs α＜0，
∴cs α＝－eq \f(\r(5),5).
eq \a\vs4\al()
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方法求解：
(2)已知tan θ求sin θ(或cs θ)常用以下方法求解：
[注意] 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
角度二 已知tan α的值，求关于sin α，cs α齐次式的值
[例2] 已知tan α＝2.
(1)求eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)的值；
(2)求2sin2α－sin αcs α＋cs2α的值.
[解] (1)法一(代入法)：∵tan α＝2，
∴eq \f(sin α,cs α)＝2，∴sin α＝2cs α.
∴eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(2cs α－3cs α,2cs α＋cs α)＝－eq \f(1,3).
法二(弦化切)：∵tan α＝2.
∴eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(\f(sin α,cs α) －3,\f(sin α,cs α)＋1)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝eq \f(2－3,2＋1)＝－eq \f(1,3).
(2)2sin2α－sin αcs α＋cs2α
＝eq \f(2sin2α－sin αcs α＋cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2tan2α－tan α＋1,tan2α＋1)＝eq \f(2×4－2＋1,4＋1)＝eq \f(7,5).
eq \a\vs4\al()
已知角α的正切求关于sin α，cs α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cs α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cs α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cs α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[跟踪训练]
1．已知tan α＝－eq \f(1,2)，eq \f(π,2)<α<π，则sin α＝( )
A.eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．－eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(\r(5),5)
解析：选D 由tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，得cs α＝－2sin α.
又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝eq \f(1,5).
因为eq \f(π,2)<α<π，所以sin α＝eq \f(\r(5),5).故选D.
2．已知eq \f(4sin θ－2cs θ,3sin θ＋5cs θ)＝eq \f(6,11)，求下列各式的值：
(1)eq \f(5cs2θ,sin2θ＋2sin θcs θ－3cs2θ)；
(2)1－4sin θcs θ＋2cs2θ.
解：∵eq \f(4sin θ－2cs θ,3sin θ＋5cs θ)＝eq \f(6,11)，
∴eq \f(4tan θ－2,3tan θ＋5)＝eq \f(6,11)，解得tan θ＝2.
(1)原式＝eq \f(5,tan2θ＋2tan θ－3)＝eq \f(5,5)＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcs θ＋3cs2θ
＝eq \f(sin2θ－4sin θcs θ＋3cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(tan2θ－4tan θ＋3,1＋tan2θ)＝－eq \f(1,5).
[例3] (链接教科书第164页例8)已知sin α＋cs α＝－eq \f(1,3)，0＜α＜π.
(1)求sin αcs α的值；
(2)求sin α－cs α的值．
[解] (1)由sin α＋cs α＝－eq \f(1,3)得(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,9)，
sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(1,9)，sin αcs α＝－eq \f(4,9).
(2)因为0＜α＜π，sin αcs α＜0，
所以sin α＞0，cs α＜0⇒sin α－cs α＞0.
(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(17,9)，
所以sin α－cs α＝eq \f(\r(17),3).
eq \a\vs4\al()
sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
[注意] 求sin α＋cs α或sin α－cs α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
[跟踪训练]
1．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin αcs α等于( )
A.eq \f(\r(7),4) B．－eq \f(9,16)
C．－eq \f(9,32) D.eq \f(9,32)
解析：选C 由已知得(sin α－cs α)2＝eq \f(25,16)，
即sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
又sin2α＋cs2α＝1，
∴1－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
∴sin αcs α＝－eq \f(9,32).故选C.
2．若0<θ<π，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，求sin θ－cs θ.
解：∵0<θ<π，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
∴sin θ>0，cs θ<0.∴sin θ－cs θ>0.
∴sin θ－cs θ＝eq \r(（sin θ－cs θ）2)＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(60,169))))＝ eq \r(\f(289,169))＝eq \f(17,13).
角度一 三角函数式的化简
[例4] 化简eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α).
[解] eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)
＝eq \f(sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）,（1＋sin α）（1－sin α）)
＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.
eq \a\vs4\al()
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
角度二 三角恒等式的证明
[例5] (链接教科书第164页例7)求证：eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1).
[证明] 法一：左边＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)
＝eq \f(（sin α＋cs α）2,sin2α－cs2α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝右边．
所以等式成立．
法二：右边＝eq \f(\f(sin α,cs α)＋1,\f(sin α,cs α)－1)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(（sin α＋cs α）2,（sin α－cs α）（sin α＋cs α）)
＝eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝左边．
所以等式成立．
eq \a\vs4\al()
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等；
(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”．
[跟踪训练]
1．化简：eq \f(2cs2α－1,1－2sin2α)＋(1＋tan2α)cs2α.
解：原式＝eq \f(2cs2α－（sin2α＋cs2α）,sin2α＋cs2α－2sin2α)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin2α,cs2α)))cs2α
＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α－sin2α)＋eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α)·cs2α＝1＋1＝2.
2．求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
证明：∵右边＝eq \f(tan2α－sin2α,（tan α－sin α）tan αsin α)
＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,（tan α－sin α）tan αsin α)
＝eq \f(tan2α（1－cs2α）,（tan α－sin α）tan αsin α)
＝eq \f(tan2αsin2α,（tan α－sin α）tan αsin α)＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝左边，
∴原等式成立．
1．已知sin θ＝eq \f(1,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan θ＝( )
A．－2 B．－eq \r(2)
C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),4)
解析：选D ∵sin θ＝eq \f(1,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq \f(\r(2),4).
2．若sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),2)，则sin αcs α＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(\r(2),2) D．2
解析：选B 因为sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),2)，所以(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,2)，即sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(1,2)，即1＋2sin αcs α＝eq \f(1,2)，所以sin αcs α＝－eq \f(1,4).故选B.
3．化简：eq \r(1－2sin 40°cs 40°)＝________．
解析：原式＝eq \r(sin240°＋cs240°－2sin 40°cs 40°)
＝ eq \r(（sin 40°－cs 40°）2)＝|cs 40°－sin 40°|
＝cs 40°－sin 40°.
答案：cs 40°－sin 40°
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcs θ＝________．
解析：1＋sin θcs θ＝eq \f(sin2θ＋cs2θ＋sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋1＋tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(22＋1＋2,22＋1)＝eq \f(7,5).
答案：eq \f(7,5)新课程标准解读
核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x
逻辑推理、数学运算
2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题
逻辑推理、数学运算
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于eq \a\vs4\al(1)
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan_α
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
利用同角基本关系式求值
sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
利用同角三角函数的关系化简与证明