高中数学湘教版（2019）必修 第一册第1章 集合与逻辑1.1 集合学案及答案

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观察下列语句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，2x＋1是整数．
[问题] 比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？



知识点一 含有量词的命题
1．全称量词与全称命题
2.存在量词与特称命题
eq \a\vs4\al()
有的命题虽然不含全称量词，但实质上是全称命题，同理，有些命题虽然不含存在量词，但实质是特称命题．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称命题．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列语句是特称命题的是________．(填序号)
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝eq \f(7,3)；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
知识点二 含量词命题的否定
1．全称命题的否定：命题“∀x∈I，p(x)”的否定是“eq \a\vs4\al(∃)x∈I，綈p(x)”即綈(∀x，p(x))⇔∃x，綈p(x)．
2．特称命题的否定：命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈p(x)”．即綈(∃x，p(x))⇔∀x，綈p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
如何对省略量词的命题进行否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题．反之亦然．
1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
答案：∃x∈R，x3－x2＋1>0
2.(2021·泰州高一月考)命题“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________________．
答案：∀x∈R，x2＋x＋1＞0
[例1] (链接教科书第19页例6)判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以改为所有凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线都不相等，故为全称命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
(4)含存在量词“有些”，故为特称命题．
(5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为特称命题．
eq \a\vs4\al()
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
1.(多选)下列语句是特称命题的是( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数
D．存在x∈R，2x＋1是奇数
解析：选ABD 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为特称命题，选项C为全称命题．
2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1也是有理数；
(3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．
(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
[例2] (链接教科书第19页例7)判断下列命题的真假：
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
[解] (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
eq \a\vs4\al()
全称命题与特称命题真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．(多选)下列结论中正确的是( )
A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
解析：选CD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，
当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确．故选C、D.
2．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假：
(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0.
解：(1)是全称命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题.
[例3] (链接教科书第21页例8)(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2
[解析] (1)利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2”．故选D.
[答案] (1)C (2)D
eq \a\vs4\al()
全称命题与特称命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练]
1．设x∈Z，集合A为偶数集，命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定为( )
A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A
C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A
解析：选D 全称命题的否定是特称命题，即∃x∈Z，2x∉A.故选D.
2.(2021·苏州高一月考)设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2＋1<0；p2：∀x∈R，x＋|x|>0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命题为( )
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
解析：选C 对于A：∀x∈R，x2＋1≥1，所以该命题为假命题；对于B：当x≤0时，x＋|x|＝0，所以该命题为假命题；对于C：当∀x∈Z时，|x|均为非负整数，所以该命题为真命题；对于D：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≠0，所以该命题为假命题．
3．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：每一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.
[例4] 已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
[解] 因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R，2x＝－x2＋m”为真命题．
则－x2－2x＋m＝0有实根．
所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.
若命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
所以m≥－1且m≥－2，
所以m的取值范围为[－1，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
已知全称(特称)命题的真假求参数的解题思路
(1)已知全称命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现 “恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
(2)已知特称命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决此类问题时，应尽量分离参数．
[跟踪训练]
已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：题中的命题为全称命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,4－4a≥0，))即a＝0或a≤1且a≠0，
所以a≤1.
答案：(－∞，1]
1．下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；
③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋4x＋4＞0”．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题，故②正确；③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋4x＋4＞0”，故③正确．故选C.
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
解析：选B A是全称命题．
B为特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
因为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，所以C为假命题．
对于任何一个负数x，都有eq \f(1,x)<0，所以D错误．故选B.
3．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式是( )
A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3解析：选D 命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式是特称命题“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|>0
B．∃x∈R，|x|>0
C．∀x∈R，|x|≤0
D．∃x∈R，|x|≤0
解析：选C 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
5．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知命题p，q都是真命题．
由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．新课程标准解读
核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义
数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称命题进行否定以及真假判别
数学抽象、逻辑推理
3.能正确使用全称量词对特称命题进行否定以及真假判别
数学抽象、逻辑推理
全称量词
“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
eq \a\vs4\al(∀)
全称命题
设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号
eq \a\vs4\al(∃)
特称命题
语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题
形式
“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
全称命题与特称命题的判断
全称命题与特称命题的真假判断
全称命题与特称命题的否定
已知全称(特称)命题的真假求参数