2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分






一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 下列四个数中，属于有理数的是(    )
A. 111 B. 315 C. π D. −2
2. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图形是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为(    )
A. 5×10−9 B. 5×10−8 C. 5×10−7 D. 0.5×10−7
4. 如图，在各选项中，可以从左边的平面圆形折成右边封闭的立体图形的是(    )
A. B.
C. D.
5. 下列计算正确的是(    )
A. a+a2=a3 B. a6÷a3=a2
C. (−2x2)3=−8x6 D. (−12)0+2−1=12
6. 如图，AB是⊙O直径，C、F为⊙O上的点，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D.若∠ADB=50°，则∠BFC的度数为(    )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°
7. 若一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+3的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
8. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E、与BD相交于点F，则下列结论中正确的有(    )
①OB=OE
②∠BOE=75°
③OE2=OF⋅OD
④若OE=1，则EC=2
⑤若△BOE的面积是矩形ABCD面积的16，则BC=32AB
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算：(18−43)⋅cos30°=______．
10. 某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为______元．
11. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=______．
12. 高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程______．
13. 如图，A(2,m)是正比例函数y=kx与反比例函数y=6x(x>0)的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是______．

14. 如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4.点F位于AB的13处、且靠近点A的位置，点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4.E为CD的中点．连接EF、BE.在CD滑动过程中(CD长度始终保持不变)，当EF取最小值时，阴影部分的面积为______．




三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
15. 如图是一张形状为四分之一圆的纸片，要在纸片上裁剪出一个尽可能大的正方形．请你在图中作出这个正方形．













16. (1)化简：(1a+1−a−3a2−1)÷2a+1；
(2)解不等式组2x+5≤3(x+2)x−12






17. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如图、表所示(统计图中乙的第8次射击成绩缺失)．
甲、乙两人连续8次射击成绩分析统计图．

甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均成绩(环)
中位数(环)
方差(环 2)
甲
______
7.5
______
乙
6
______
3.5
(1)乙的第8次射击成绩是______环；
(2)补全统计表；
(3)如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．







18. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票(除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．

(1)小亮从中随机抽以一张邮票是“冬奥公吉祥物冰墩墩”的概率是______；
(2)小亮从中随机抽收一张邮票(不放回)，再从余下的邮票中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．(这四张邮票从左到右依次分别用字A、B、C、D表示)







19. 矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌如图所示，测量得到如下数据：
∠B=90°，∠BDC=72°，∠E=35°，CD=2.8米，BE=7.5米．
求线段AC的长．(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin35°≈1425，cos35°≈45，tan35°≈710，sin72°≈1920，cos72°≈310，tan72°≈196)








20. 崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购进甲，乙两种设备，已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元，购进1件甲设备和3件乙设备共需3万元．
(1)求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元．
(2)如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件乙设备能为企业增加0.2万元利润．该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利润最大？







21. 如图，延长平行四边形ABCD的边AD到F，使DF=AD，连接BF，交DC于点E，延长CD至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时，四边形AEFG是菱形？证明你的结论．








22. 手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米；山坡OA的坡度为1：3．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．








23. 定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”．
即：若正整数n=a2−b2(a,b为正整数，且a>b)，则称正整数n为“智慧数”．
例如：∵5=32−22，∴5是“智慧数”．
根据定义，直接写出最小的“智慧数”是______．
提出问题：
如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪个数？
探究问题：
要解答这个问题，我们先要明确“智慧数”产生的规律．
探究1：“智慧数”一定是什么数？
假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a2−b2(a,b为正整数，且a>b)．
情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．
分析：∵a、b均为奇数，或均为偶数
∴(a+b)，(a−b)均为偶数．
此时不妨设(a+b)=2c，(a−b)=2d
又∵n=a2−b2=(a+b)(a−b)=4cd．
∴a2−b2为4的倍数，即n为4的倍数．
情况2：a、b为一奇数、一偶数．
分析：∵a、b为一奇数、一偶数．
∴(a+b)，(a−b)均为奇数，
此时不妨设a+b=2c±1，a−b=2d±1
又∵n=a2−b2=(a+b)(a−b)=4cd±2c±2d±1，
∴a2−b2为奇数，即n为奇数．
综上所述：“智慧数”是奇数或4的倍数．
探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？
我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”(①～⑧)，因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类．
表一：
情况1：n是奇数

分析n=a2−b2
结论
①
3=22−12
3是“智慧数”
②
5=32−22
5是“智慧数”
③
7=42−32
7是“智慧数”
④
9=52−42
9是“智慧数”
…
…
…
表二：
情况2：n是4的倍数

分析n=a2−b2
结论
⑤
8=32−12
8是“智慧数”
⑥
12=42−22
12是“智慧数”
⑦
16=52−32
16是“智慧数”
⑧
20=62−42
20是“智慧数”
…
…
…
情况1：n是奇数
观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值均为连续的正整数．
猜想：所有奇数都是“智慧数”．
验证：设a=k+1，b=k(k≥1且k为整数)
∵a2−b2=(k+1)2−k2=2k+1．
∴2k+1是“智慧数”．
又∵k≥1，
∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数(1除外)．
∴所有奇数(1除外)都是“智慧数”．
应用：
请直接填空：∵11=______ 2−______ 2，∴11是“智慧数”．
情况2：n是4的倍数
观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的情，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的差都为2．
猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．
验证：设a=k+2，b=k(k≥1且k为整数)
∵a2−b2=(k+2)2−k2=4k+4．
∴4k+4是“智慧数”，
又∵k≥1，
∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数(4除外)，
∴所有4的倍数(4除外)都是“智慧数”．
应用：
请直接填空：∵24=______ 2−______ 2，∴24是“智慧数”．
归纳“智慧数”的发现模型：
(1)对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数、以及4的倍数是智慧数．
(2)当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；
当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每______个连续正整数分成一组(注：组与组之间的数字互不重复)，则每组有______个“智慧数”，且第______数不是“智慧数”．
问题解决：
直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是______．
实际应用：
若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是______cm．







如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒，0
(1)求当t为何值时，DQ//AC？
(2)设▱PEQD的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；
(3)连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过▱PEQD的对称中心O？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．






答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、111是有理数，故A符合题意；
B、315是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、−2是无理数，故D不符合题意；
故选：A．
根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．

2.【答案】D

【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】B

【解析】解：0.00000005=5×10−8，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】B

【解析】解：将B选项中的展开图经过折叠可以得到长方体，
故选：B．
四棱锥有四个三角形的侧面，故A选项不正确，将B中展开图折叠为长方体，因此B选项正确，C选项不能折叠成正方体，D显然不正确．
考查立体图形的展开与折叠，掌握展开图的规律和方法是正确判断的前提．

5.【答案】C

【解析】解：∵a+a2≠a3，
∴选项A不符合题意；
∵a6÷a3=a3≠a2，
∴选项B不符合题意；
∵(−2x2)3=−8x6，
∴选项C符合题意；
∵(−12)0+2−1=1+12=32≠12，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义是解决问题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：连接OC，

根据题意，得：OB=OC，
∴∠ABD=∠OCB，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠ADB=50°，
∴∠ABD=90°−∠ADB=40°，
∴∠OCB=∠ABD=40°，
∴∠BOC=180°−∠ABD−∠OCB=100°，
∴∠BFC=12∠BOC=50°，
故选：B．
连接OC，根据圆的对称性质和等腰三角形的性质，得∠ABD=∠OCB，根据切线和直角三角形的两锐角互余的性质，推导得∠OCB=∠ABD=40°，再根据三角形内角和定理和圆周角定理可得答案．
此题考查了切线的性质、圆周定理及三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的对称性．

7.【答案】A

【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴有2个交点，所以C选项不符合题意；
当a>0时，若b<0，抛物开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，一次函数经过第一、三象限，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
当a<0时，抛物开口向下，一次函数经过第二、四象限，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据抛物线与x轴的交点问题，利用一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根得到抛物线与x轴有2个交点，则可对C选项进行判断；当a>0时，若b<0，抛物开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，利用一次函数的性质可对A、B进行判断；当a<0时，抛物开口向下，利用一次函数的性质可对D选项进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了一次函数和二次函数的性质．

8.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=12∠BAD=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴OB=BE，∠OBE=∠ABE−∠ABO=30°，
∴OB≠OE，
故①不正确；
∵OB=BE，∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠BEO=75°，
故②正确；
∵∠BAE=45°，∠ABF=60°，
∴∠AFB=180°−∠BAE−∠ABF=75°，
∴∠OFE=∠AFB=75°，
∴∠OFE=∠BEO=75°，
∵∠BOE=∠FOE，
∴△OFE∽△OEB，
∴OFOE=OEOB，
∴OE2=OB⋅OF，
∵OB=OD，
∴OE2=OD⋅OF，
故③正确；
过点E作EG⊥OC，垂足为G，

∵∠AOB=60°，∠BOE=75°，
∴∠EOC=180°−∠AOB−∠BOE=45°，
∴△OGE是等腰直角三角形，
∴GE=OE2=22，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴EC=2GE=2，
故④正确；
过点O作OJ⊥BC，垂足为J，

∵OB=OC，
∴BJ=JC，
∵OA=OC，
∴OJ是△ABC的中位线，
∴OJ=12AB，
∵△BOE的面积是矩形ABCD面积的16，
∴12BE⋅OJ=16AB⋅BC，
∵AB=BE，
∴12AB⋅12AB=16AB⋅BC，
∴BC=32AB
故⑤正确；
所以，上列结论中正确的有4个，
故选：C．
根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，再利用角平分线的性质可得∠BAE=45°，从而可得AB=BE，再根据∠AOB=60°，可得△AOB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质AB=OB，∠ABO=60°，从而可得OB=BE，∠OBE=30°，即可判断①；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判断②；根据三角形的内角和定理可求出∠AFB的度数，从而求出∠OFE的度数，进而可得∠OFE=∠BEO=75°，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△OFE∽△OEB，再利用相似三角形的性质即可判断③；过点E作EG⊥OC，垂足为G，根据平角定义可求出∠EOC=45°，从而可得△OGE是等腰直角三角形，进而求出EG的长，然后根据OB=OC，求出∠OBC=∠OCB=30°，从而求出EC的长，即可判断④，过点O作OJ⊥BC，垂足为J，利用等腰三角形的三线合一性质可得BJ=JC，从而可得OJ是△ABC的中位线，进而可得OJ=12AB，然后再根据已知△BOE的面积是矩形ABCD面积的16，进行计算即可判断⑤．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

9.【答案】362−1

【解析】解：(18−43)⋅cos30°
=(32−233)×32
=32×32−233×32
=362−1，
故答案为：362−1．
利用乘法分配律，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

10.【答案】10

【解析】解：50×120+25×220+20×520+0×1220=10(元)，
答：他每参与一次的平均收益为10元．
故答案为：10．
求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得．
本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．

11.【答案】23

【解析】解：如图所示，AB=4cm，过O作OG⊥AB于G；
∵此多边形是正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，∠AOG=60°2=30°，
∴OG=AGtan∠AOG=233=23．
根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．

12.【答案】360x−3603x=3

【解析】解：设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x km/h，
根据题意得：360x−3603x=3．
故答案为：360x−3603x=3．
设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．

13.【答案】y=32x−3

【解析】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=6x的图象有一个交点A(2,m)，
∴2m=6，
解得：m=3，
∴A(2,3)，
则3=2k，
解得：k=32，
∴正比例函数解析式为：y=32x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，
∴B(2,0)，
∴设平移后的解析式为：y=32x+b，
则0=3+b，
解得：b=−3，
∴直线l对应的函数表达式是：y=32x−3．
故答案为：y=32x−3．
首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得A，B点坐标是解题关键．

14.【答案】8π3−23

【解析】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．

∵∠AOB=90°，AF=13AB，
∴∠BOF=60°，
∵CE=DE，CD=4，
∴OE=12CD=2，
∵OF=4，
∴EF≥OF−OE=2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF=2，
∵OF=OB，∠BOF=60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT=TF，
∴BT⊥OF，
∴BE=BT=OB2−OT2=42−22=23，
∴此时S阴影=S扇形BOF−S△BOT=60π×42360−12×2×23=8π3−23．
故答案为：8π3−23．
如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF−OE=2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，利用S阴影=S扇形BOF−S△BOT进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n°的圆心角所对的弧的长度为nπr180．

15.【答案】解：如图，正方形OCED即为所求．


【解析】作OE平分∠AOB，过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.四边形OCED即为所求．
本题考查作图−复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】解：(1)(1a+1−a−3a2−1)÷2a+1
=a−1−a+3(a+1)(a−1)⋅a+12
=2(a+1)(a−1)⋅a+12
=1a−1；
(2)2x+5≤3(x+2)①x−12 解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x<3，
故原不等式组的解集是−1≤x<3．

【解析】(1)先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可；
(2)先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和解不等式组的方法．

17.【答案】7  1.25  6  9

【解析】解：(1)6×8−(4+3+5+6+7+6+8)=9(环)，
故乙的第8次射击成绩是9环，
故答案为：9；
(2)甲的平均数：(8+8+8+7+8+6+5+6)÷8=7(环)，
乙的中位数为：(6+6)÷2=6(环)，
甲的方差：18×[4×(8−7)2+(7−7)2+2×(6−7)2+(5−7)2]=1.25；
图表补全：

平均成绩(环)
中位数(环)
方差(环 2)
甲
7
7.5
1.25
乙
6
6
3.5

故答案为：7，6，1.25；
(3)要从甲、乙两人中选一位参加比赛，会选甲，
理由：∵甲的平均成绩、中位数比乙的都高，而且甲成绩的方差较小，甲的成绩较稳定．
∴应选甲运动员．
(1)根据乙的平均数求出总环数，从而求出乙的第8次射击的环数；
(2)根据，中位数，平均数的定义解答即可；
(3)根据平均数、众数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可．
本题考查的是折线统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．

18.【答案】14

【解析】解：(1)小亮从中随机抽以一张邮票是“冬奥公吉祥物冰墩墩”的概率是14；
故答案为：14；

(2)这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示，
列表如下，

A
B
C
D
A

(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)

(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)

(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)

共有12种等可能性结果，其中抽到恰好是“冬奥会会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的有2种，
则恰好是“冬奥会会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是212=16．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19.【答案】解：在Rt△CDB中，∠CDB=72°，CD=2.8米，
∴BC=CD⋅sin72°≈2.8×1920=2.66(米)，
在Rt△AEB中，BE=7.5米，∠E=35°，
∴AB=BE⋅tan35°≈7.5×710=5.25(米)，
∴AC=AB−BC=5.25−2.66≈2.6(米)，
∴线段AC的长为2.6米．

【解析】先在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握利用锐角三角函数的定义是解题的关键．

20.【答案】解：(1)设购进1件甲设备x万元，1件乙设备y万元，
根据题意得：2x+y=3.5x+3y=3，
解得：x=1.5y=0.5，
答：购进1件甲设备需要1.5万元，1件乙设备需要0.5万元．
(2)设购进甲设备m件，则购进乙设备(10−m)件，
则1.5m+0.5(10−m)≤12，解得m≤7，
设利润为w万元，
则w=0.5m+0.2(10−m)=0.3m+2，
这是一个一次函数，且0.3>0，w值随着m的增大而增大，
∴当m=7时，w有最大值，为w=0.3×7+2=4.1万元，
答：购进甲设备7件，购进乙设备3件，才能使企业这个季度的利润最大．

【解析】(1)根据实际应用题解题步骤“设、列、解、答”按题意求解即可．
(2)结合第(1)中所求单价，根据题意列出相应的不等式与函数，根据一次函数性质求出最大值时的采购情况即可．
本题考查利用方程组、不等式、函数求解实际应用题，读懂题意，找到相应的关系列出方程组、不等式与函数表达式是解决问题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DFE=∠CBE，
∵DF=AD，
∴DF=CB，
在△BCE和△FDE中，
∠DFE=∠CBE∠FED=∠BECDF=CB，
∴△BCE≌△FDE(AAS)；
(2)解：当∠ADC=90°时，四边形AEFG是菱形，
理由：∵DF=AD，DG=DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴GE⊥AE，
∴四边形AEFG是菱形．

【解析】(1)根据平行四边形的性质，可以得到AD//BC，AD=BC，然后即可得到∠DFE=∠CBE，再根据DF=AD，可以得到DF=CB，然后根据AAS即可证明结论成立；
(2)先写出相应的条件，然后根据菱形的判定方法说明理由即可．
本题考查菱形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

22.【答案】解：(1)由题意得：顶点C(6,12)，且抛物线过原点，
所以设抛物线的解析式为：y=a(x−6)2+12，
把(0,0)代入得：0=a(0−6)2+12，
解得a=−13，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为：y=−13(x−6)2+12==−13x2+4x；
(2)∵山坡OA的坡度为1：3，OE=9米，
∴AE=3米，
当x=9时，y=−13×9+12=9，
∵3+5<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
(3)设直线OA的关系式为y=kx，把A(9,3)代入可得k=13，
∴直线OA的关系式为y=13x，
如图，

设M(a,−13a2+4a)，N(a,13a)，
∴MN=(−13a2+4a)−13a=−13a2+113a=−13(a−112)2+12112，
当a=112时，MN最大为12112，
答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是12112米．

【解析】(1)根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；
(2)利用坡度求出AE，再根据二次函数关系式求B的坐标，再进行比较即可；
(3)求出OA的关系式，利用MN=−13(a−112)2+12112，求出最大值即可．
本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上．

23.【答案】3  6  5  7  5  4  3  2  4045  84

【解析】解：根据定义，直接写出最小的“智慧数”是22−12=3．
应用：
∵11=62−52，
∴11是“智慧数”．
∵24=72−52，
∴24是“智慧数”．
当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，...依次每4个连续正整数分成一组(注：组与组之间的数字互不重复)，则每组有3个“智慧数”，且第2数不是“智慧数”．
故答案为：3，6，5，7，5，4，3，2；

问题解决：
第1个“智慧数”是：22−12=3；
第2个“智慧数”是：32−22=5；
第3个“智慧数”是：42−32=7；
...
∴第2022个“智慧数”是：(2022+1)2−20222=(2023−2022)(2023+2022)=4045；
故答案为：4045；

实际应用：
122=132−52=152−92=202−162=372−352，
∴这个直角三角形纸片的另外两条边的长最大为37，35，
∴这个直角三角形纸片的周长最大是12+37+35=84(cm)．
故答案为：84．
根据新定义和规律即可解答；
问题解决：根据归纳“智慧数”的发现模型可得出规律，即可解答；
实际应用：把122写成两个正整数的平方差，找出和最大的两个正整数，即这个直角三角形纸片的另外两条边的长，即可求解．
本题是三角形综合题，主要考查了整数问题的综合运用，勾股定理，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，此题难度较大．

24.【答案】解：(1)∵点D是AB的中点，
∴AD=DB=12AB，
∵DQ//AC，
∴DBAB=BQBC=12，
∴BQ=12BC=92，
∴CQ=92，
∴t=922=94，
∴当t=94时，DQ//AC；
(2)如图，取AC的中点H，BC的中点G，连接DH，DG，连接PQ，

∵点H是AC的中点，点G是BC的中点，点D是AB的中点，
∴DH//BC，DH=12BC=92，DG//AC，DG=12AC=6，
∵S=2S△PQD=2(S△ABC−S△APD−S△DBQ−S△PCQ)，
∴S=2×[54−12×t×92−12×6×(9−2t)−12×2t×(12−t)]=2t2−332t+54；
(3)存在，以点C为原点，BC为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，

∴点Q(2t,0)，点A(0,12)，点B(9,0)，点P(0,12−t)，
∵点D是AB的中点，
∴点D(92,6)，
∵点O是▱PEQD的对称中心，
∴点O(t,12−t2)，
∵点D(92,6)，点O(0,0)，
∴直线CD的解析式为y=43x，
∵CD经过点O，
∴12−t2=43t，
∴t=187，
∴当t=187时，CD经过▱PEQD的对称中心O．

【解析】(1)由平行线分线段成比例可求CQ的长，即可求解；
(2)由面积的和差关系可求解；
(3)建立平面直角坐标系，求出直线CD解析式，将点O代入解析式可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，一次函数的性质，建立平面直角坐标系是解题的关键．