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2023年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合频目要求的。
1．下列各数的相反数是负数的是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．π D．0
2．如图，五个甲骨文中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）
5．如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．65°
7．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟14号航天员打开“家门”，热情欢迎神舟15号航天员入驻“天宫”，后续两个航天员乘组将在我国空间站完成首次在轨轮换．中国空间站轨道高度约为400000m，400000这个数据用科学记数法表示为 ．
10．在五张卡片上分别写有5，，π， 五个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是 ．
11．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
12．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
7
9
…
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
三、作图题（本大题满分4分）
15．在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（1）解不等式组；
（2）计算：．
17．小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
18．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
（1）小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们的意思体现清楚：
① ；② ；③ ；④ ；
（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是 ．
19．深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）本次随机调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角为 度；
（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有 名．
20．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
21．如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cos63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
22．如图，一个小球从斜坡O点处被抛出，球的抛出路线如图所示，它的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝4x﹣x2，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
（1）小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）求小球离坡面的最大高度．
23．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠BAC＝∠DAC，请判断并证明四边形DEBF是什么特殊四边形．
24．如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合频目要求的。
1．下列各数的相反数是负数的是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．π D．0
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：A．﹣1的相反数是1，1是正数，故本选项不符合题意；
B．的相反数是，是正数，故本选项不符合题意；
C．π的相反数是﹣π，﹣π是负数，故本选项符合题意；
D．0的相反数是0，0既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
2．如图，五个甲骨文中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．
解：从左到右第二、第三、第五个图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
第一和第四两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15
【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．
解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；
共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，
故中位数为14℃．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）
【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
5．如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解：从左边看，可得图形如下：
．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．65°
【分析】根据圆周角定理知∠AOB＝2∠C，再根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝∠O+∠A，易得答案．
解：∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∴∠C＝∠O＝45°，
∵∠B+∠C＝∠O+∠A，
∴∠B＝∠O+∠A﹣∠C＝90°+20°﹣45°＝65°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】过E作EG⊥FG于G，由七巧板和正方形的性质可知，EG＝1，FG＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案．
解：如图，过E作EG⊥FG于G，
由七巧板和正方形的性质可知：EG＝1，FG＝1+4＝5，
在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】在AB上截取AM＝CE，连接EM，可以证明△AME≌△ECF，得到AE＝EF，CF＝ME＝BE，由于点E是动点，因此∠DAF与∠CEF不一定相等；由二次函数的性质即可求出△AEM的最大值．
解：在AB上截取AM＝CE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴BM＝BE，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，ME＝BE，
∴∠AME＝180°﹣∠BME＝135°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠FCN＝∠DCN＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠FCN＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，CF＝ME＝BE，∠MAE＝∠CEF，
∴①②正确；
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∵点E是边BC上一动点，
∴∠MAE不一定等于∠DAF，
∴∠CEF不一定等于∠DAF，
∴③错误；
设AM＝x，则BE＝MB＝1﹣x，
∴△AME的面积＝AM•BE＝x•（1﹣x）＝﹣+，
∴△ECF面积的最大值是．
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟14号航天员打开“家门”，热情欢迎神舟15号航天员入驻“天宫”，后续两个航天员乘组将在我国空间站完成首次在轨轮换．中国空间站轨道高度约为400000m，400000这个数据用科学记数法表示为 4×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：400000＝4×105．
故答案为：4×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
10．在五张卡片上分别写有5，，π， 五个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：从中随机抽取一张共有5种等可能结果，其中卡片上的数为无理数的有π，，共2张，
所以卡片上的数为无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．
11．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 30% ．
【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据该买菜APP今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ﹣4 ．
【分析】由反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝﹣k2，S△OCE＝﹣k2，S矩形ABOC＝﹣k1，根据S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE＝S四边形ADOE即可求出k1﹣k2．
解：∵D，E在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S△OBD＝OB•BD＝﹣k2，S△OCE＝OC•CE＝﹣k2，
∵A在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S矩形ABOC＝OB•OC＝﹣k1
∴k1﹣k2＝﹣[﹣k1﹣（﹣k2）]＝﹣（S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE）＝﹣S四边形ADOE＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|值是解决问题的关键．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 12﹣ ．
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，
∴BF＝BG＝2，
∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣，
故答案为：12﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
7
9
…
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 x＝ ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜8 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【分析】①先根据表中数据求出函数解析式，再化为顶点式，从而求出对称轴；
②令①中的y＝0，解方程求出方程的解，从而得出抛物线与x轴的交点坐标，由函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
③根据抛物线的开口方向和最高点，得出k的取值范围．
解：①把x＝﹣1，y＝0；x＝0，y＝4，x＝1，y＝7代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故答案为：x＝；
②令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（8，0），
∵抛物线开口向下，
∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜8，
故答案为：﹣1＜x＜8；
③由①知，抛物线的顶点为（，），
∵方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点，
∴k的取值范围是k＜，
故答案为：k＜．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）
15．在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．
【分析】由题意得，点P是线段BC的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图判断即可．
解：由题意得，点P是线段BC的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图即可．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（1）解不等式组；
（2）计算：．
【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
解：（1），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4．
（2）原式＝•
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，再根据概率公式计算出小明和小亮胜的概率，然后比较小亮胜的概率和小明胜的概率的大小，即可判断这个游戏是否公平．
解：根据题意列表如下：
红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
共有6种等可能的结果数，其中能配成紫色的结果数为3，
所以小明胜的概率是＝，小亮胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
18．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
（1）小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们的意思体现清楚：
① kx+b＝0 ；② ；③ kx+b＞0 ；④ kx+b＜0 ；
（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是 x≥1 ．
【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；
②两个函数的解析式组成的方程组的解中，x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．
③④可以写出两个对应的不等式．
（2）不等式kx+b≤k1x+b1的解集是，就是函数y＝kx+b和y＝k1x+b1的图象中，y＝k1x+b1的图象位于上边的部分对应的自变量的范围．
解：（1）根据题意知：①kx+b＝0；
②；
③kx+b＞0；
④kx+b＜0．
故答案为：kx+b＝0；；kx+b＞0；kx+b＜0；
（2）如果点C的坐标为（1，3），
那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
19．深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）本次随机调查了 80 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角为 90 度；
（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有 240 名．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数减去A、C、D的人数即可求出B类别人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以C类别人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例即可．
解：（1）本次随机调查的学生人数为24÷30%＝80（名），
故答案为：80；
（2）B类别人数为80﹣（24+20+8）＝28（名），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中，C类所对应的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：90；
（4）选择“D：其它”的学生大约有2400×＝240（名），
故答案为：240．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程：﹣＝6，解方程即可；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，得出b≥32，即可得出结论．
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，
根据题意得：1.2×+0.5b≤40，
解得：b≥32，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
21．如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cos63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
【分析】过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG＝3米，CG＝BF＝3米，设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+）米，在Rt△ABC中，tan63.3°＝，解得AB＝x，则AF＝（3+x）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF，即3+x＝x+，求出x的值，进而可得答案．
解：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
由题意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，
∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，
∴＝，
即DG＝1.8CG，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG2+（1.8CG）2＝62，
解得CG＝3，
∴DG＝3米，BF＝3米，
设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+）米，
在Rt△ABC中，tan60°＝，
解得AB＝x，
∴AF＝（3+x）米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
即3+x＝x+，
解得x＝3，
∴AF＝（3+）米．
∴灯的顶端A与地面DE的距离为（3+）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．如图，一个小球从斜坡O点处被抛出，球的抛出路线如图所示，它的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝4x﹣x2，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
（1）小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）求小球离坡面的最大高度．
【分析】（1）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（2）设小球离坡面的最大高度为z，则z＝4x﹣x2﹣x由函数的性质求出最值．
解：（1）联立两解析式：，
解得或，
∴A（7，）；
（2）设小球离坡面的高度为z
则z＝4x﹣x2﹣x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，z有最大值，最大值
∴小球离坡面的最大高度为
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握两函数图象交点的求解方法及二次函数顶点坐标的求解方法，难度一般．
23．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠BAC＝∠DAC，请判断并证明四边形DEBF是什么特殊四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AO＝OC，OB＝OD，证出OE＝OF，证明四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的性质得出结论；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）解：由（1）可知四边形DEBF是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴△ABD是等腰三角形，
∴OE⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分∠BPQ＝90°或∠PBQ＝90°两种情形，分别利用cos∠PBQ列出方程即可；
（2）作PH⊥BC于H，将五边形面积转化为梯形面积减去APQ的面积即可；
（3）根据平行线的性质得∠QPM＝∠CDF，再利用直角三角形斜边上中线的性质得∠CDF＝∠FCD，再利用三角函数列出方程即可．
解：（1）由题意得，AB＝CD＝3，AE＝4，BC＝5，DE＝1，∠AEB＝∠PBQ，
由勾股定理得，BE＝＝5，
∵BP＝t，QC＝t，
∴PE＝5﹣t，BQ＝5﹣t，
当∠BPQ＝90°时，
cos∠PBQ＝，
解得t＝，
当∠PBQ＝90°时，
cos∠PBQ＝，
解得t＝，
综上所述，当t＝或时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）S五边形PEDCQ＝S梯形BCDE﹣S△BPQ，
如图，作PH⊥BC于H，
则PH＝BP•sin∠PBQ＝t×，
BH＝BP，
∴S，
S梯形BCDE＝，
∴S＝9﹣（﹣）＝；
（3）存在某一时刻，使得PQ∥DF，
如图，作PM⊥BC于M，
则PM＝，QM＝，
∵PM∥CD，PQ∥DF，
∴∠QPM＝∠CDF，
∵DF为Rt△DEC的中线，
∴DF＝FC，
∴∠CDF＝∠FCD，
∴tan∠QPM＝，
∴，
即＝，
∴t＝，
即存在某一时刻t，使PQ∥DF，t的值为．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角函数等知识，利用三角函数表示线段的长是解题的关键．
2023年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合频目要求的。
1．下列各数的相反数是负数的是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．π D．0
2．如图，五个甲骨文中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）
5．如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．65°
7．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟14号航天员打开“家门”，热情欢迎神舟15号航天员入驻“天宫”，后续两个航天员乘组将在我国空间站完成首次在轨轮换．中国空间站轨道高度约为400000m，400000这个数据用科学记数法表示为 ．
10．在五张卡片上分别写有5，，π， 五个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是 ．
11．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
12．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
7
9
…
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
三、作图题（本大题满分4分）
15．在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（1）解不等式组；
（2）计算：．
17．小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
18．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
（1）小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们的意思体现清楚：
① ；② ；③ ；④ ；
（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是 ．
19．深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）本次随机调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角为 度；
（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有 名．
20．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
21．如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cos63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
22．如图，一个小球从斜坡O点处被抛出，球的抛出路线如图所示，它的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝4x﹣x2，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
（1）小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）求小球离坡面的最大高度．
23．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠BAC＝∠DAC，请判断并证明四边形DEBF是什么特殊四边形．
24．如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合频目要求的。
1．下列各数的相反数是负数的是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．π D．0
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：A．﹣1的相反数是1，1是正数，故本选项不符合题意；
B．的相反数是，是正数，故本选项不符合题意；
C．π的相反数是﹣π，﹣π是负数，故本选项符合题意；
D．0的相反数是0，0既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
2．如图，五个甲骨文中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．
解：从左到右第二、第三、第五个图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
第一和第四两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15
【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．
解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；
共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，
故中位数为14℃．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）
【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
5．如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解：从左边看，可得图形如下：
．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．65°
【分析】根据圆周角定理知∠AOB＝2∠C，再根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝∠O+∠A，易得答案．
解：∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∴∠C＝∠O＝45°，
∵∠B+∠C＝∠O+∠A，
∴∠B＝∠O+∠A﹣∠C＝90°+20°﹣45°＝65°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】过E作EG⊥FG于G，由七巧板和正方形的性质可知，EG＝1，FG＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案．
解：如图，过E作EG⊥FG于G，
由七巧板和正方形的性质可知：EG＝1，FG＝1+4＝5，
在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】在AB上截取AM＝CE，连接EM，可以证明△AME≌△ECF，得到AE＝EF，CF＝ME＝BE，由于点E是动点，因此∠DAF与∠CEF不一定相等；由二次函数的性质即可求出△AEM的最大值．
解：在AB上截取AM＝CE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴BM＝BE，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，ME＝BE，
∴∠AME＝180°﹣∠BME＝135°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠FCN＝∠DCN＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠FCN＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，CF＝ME＝BE，∠MAE＝∠CEF，
∴①②正确；
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∵点E是边BC上一动点，
∴∠MAE不一定等于∠DAF，
∴∠CEF不一定等于∠DAF，
∴③错误；
设AM＝x，则BE＝MB＝1﹣x，
∴△AME的面积＝AM•BE＝x•（1﹣x）＝﹣+，
∴△ECF面积的最大值是．
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟14号航天员打开“家门”，热情欢迎神舟15号航天员入驻“天宫”，后续两个航天员乘组将在我国空间站完成首次在轨轮换．中国空间站轨道高度约为400000m，400000这个数据用科学记数法表示为 4×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：400000＝4×105．
故答案为：4×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
10．在五张卡片上分别写有5，，π， 五个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：从中随机抽取一张共有5种等可能结果，其中卡片上的数为无理数的有π，，共2张，
所以卡片上的数为无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．
11．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 30% ．
【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据该买菜APP今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ﹣4 ．
【分析】由反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝﹣k2，S△OCE＝﹣k2，S矩形ABOC＝﹣k1，根据S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE＝S四边形ADOE即可求出k1﹣k2．
解：∵D，E在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S△OBD＝OB•BD＝﹣k2，S△OCE＝OC•CE＝﹣k2，
∵A在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S矩形ABOC＝OB•OC＝﹣k1
∴k1﹣k2＝﹣[﹣k1﹣（﹣k2）]＝﹣（S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE）＝﹣S四边形ADOE＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|值是解决问题的关键．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 12﹣ ．
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，
∴BF＝BG＝2，
∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣，
故答案为：12﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
7
9
…
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 x＝ ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜8 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【分析】①先根据表中数据求出函数解析式，再化为顶点式，从而求出对称轴；
②令①中的y＝0，解方程求出方程的解，从而得出抛物线与x轴的交点坐标，由函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
③根据抛物线的开口方向和最高点，得出k的取值范围．
解：①把x＝﹣1，y＝0；x＝0，y＝4，x＝1，y＝7代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故答案为：x＝；
②令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（8，0），
∵抛物线开口向下，
∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜8，
故答案为：﹣1＜x＜8；
③由①知，抛物线的顶点为（，），
∵方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点，
∴k的取值范围是k＜，
故答案为：k＜．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）
15．在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．
【分析】由题意得，点P是线段BC的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图判断即可．
解：由题意得，点P是线段BC的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图即可．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（1）解不等式组；
（2）计算：．
【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
解：（1），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4．
（2）原式＝•
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．小明和小亮用如图所示的，两个均匀、可以自由转动的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，即可以配成紫色．此时小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，再根据概率公式计算出小明和小亮胜的概率，然后比较小亮胜的概率和小明胜的概率的大小，即可判断这个游戏是否公平．
解：根据题意列表如下：
红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
共有6种等可能的结果数，其中能配成紫色的结果数为3，
所以小明胜的概率是＝，小亮胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
18．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
（1）小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们的意思体现清楚：
① kx+b＝0 ；② ；③ kx+b＞0 ；④ kx+b＜0 ；
（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是 x≥1 ．
【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；
②两个函数的解析式组成的方程组的解中，x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．
③④可以写出两个对应的不等式．
（2）不等式kx+b≤k1x+b1的解集是，就是函数y＝kx+b和y＝k1x+b1的图象中，y＝k1x+b1的图象位于上边的部分对应的自变量的范围．
解：（1）根据题意知：①kx+b＝0；
②；
③kx+b＞0；
④kx+b＜0．
故答案为：kx+b＝0；；kx+b＞0；kx+b＜0；
（2）如果点C的坐标为（1，3），
那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
19．深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）本次随机调查了 80 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角为 90 度；
（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有 240 名．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数减去A、C、D的人数即可求出B类别人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以C类别人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例即可．
解：（1）本次随机调查的学生人数为24÷30%＝80（名），
故答案为：80；
（2）B类别人数为80﹣（24+20+8）＝28（名），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中，C类所对应的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：90；
（4）选择“D：其它”的学生大约有2400×＝240（名），
故答案为：240．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程：﹣＝6，解方程即可；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，得出b≥32，即可得出结论．
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，
根据题意得：1.2×+0.5b≤40，
解得：b≥32，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
21．如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cos63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
【分析】过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG＝3米，CG＝BF＝3米，设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+）米，在Rt△ABC中，tan63.3°＝，解得AB＝x，则AF＝（3+x）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF，即3+x＝x+，求出x的值，进而可得答案．
解：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
由题意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，
∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，
∴＝，
即DG＝1.8CG，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG2+（1.8CG）2＝62，
解得CG＝3，
∴DG＝3米，BF＝3米，
设BC＝FG＝x米，则DF＝（x+）米，
在Rt△ABC中，tan60°＝，
解得AB＝x，
∴AF＝（3+x）米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
即3+x＝x+，
解得x＝3，
∴AF＝（3+）米．
∴灯的顶端A与地面DE的距离为（3+）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．如图，一个小球从斜坡O点处被抛出，球的抛出路线如图所示，它的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝4x﹣x2，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
（1）小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）求小球离坡面的最大高度．
【分析】（1）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（2）设小球离坡面的最大高度为z，则z＝4x﹣x2﹣x由函数的性质求出最值．
解：（1）联立两解析式：，
解得或，
∴A（7，）；
（2）设小球离坡面的高度为z
则z＝4x﹣x2﹣x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，z有最大值，最大值
∴小球离坡面的最大高度为
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握两函数图象交点的求解方法及二次函数顶点坐标的求解方法，难度一般．
23．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠BAC＝∠DAC，请判断并证明四边形DEBF是什么特殊四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AO＝OC，OB＝OD，证出OE＝OF，证明四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的性质得出结论；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）解：由（1）可知四边形DEBF是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴△ABD是等腰三角形，
∴OE⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分∠BPQ＝90°或∠PBQ＝90°两种情形，分别利用cos∠PBQ列出方程即可；
（2）作PH⊥BC于H，将五边形面积转化为梯形面积减去APQ的面积即可；
（3）根据平行线的性质得∠QPM＝∠CDF，再利用直角三角形斜边上中线的性质得∠CDF＝∠FCD，再利用三角函数列出方程即可．
解：（1）由题意得，AB＝CD＝3，AE＝4，BC＝5，DE＝1，∠AEB＝∠PBQ，
由勾股定理得，BE＝＝5，
∵BP＝t，QC＝t，
∴PE＝5﹣t，BQ＝5﹣t，
当∠BPQ＝90°时，
cos∠PBQ＝，
解得t＝，
当∠PBQ＝90°时，
cos∠PBQ＝，
解得t＝，
综上所述，当t＝或时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）S五边形PEDCQ＝S梯形BCDE﹣S△BPQ，
如图，作PH⊥BC于H，
则PH＝BP•sin∠PBQ＝t×，
BH＝BP，
∴S，
S梯形BCDE＝，
∴S＝9﹣（﹣）＝；
（3）存在某一时刻，使得PQ∥DF，
如图，作PM⊥BC于M，
则PM＝，QM＝，
∵PM∥CD，PQ∥DF，
∴∠QPM＝∠CDF，
∵DF为Rt△DEC的中线，
∴DF＝FC，
∴∠CDF＝∠FCD，
∴tan∠QPM＝，
∴，
即＝，
∴t＝，
即存在某一时刻t，使PQ∥DF，t的值为．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角函数等知识，利用三角函数表示线段的长是解题的关键．
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