2023年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷(含解析）

2023年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四种正多边形的瓷砖图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各数中，绝对值等于的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级微米相当于米的一百万分之一紫外线是一种在电磁波谱中波长从微米微米辐射的总称，把微米用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线与轴，轴分别交于，两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点为，若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，二次函数的图象开口向下，且经过第二象限的点若点的横坐标为，则一次函数的图象大致如(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则下列结论正确的有(    )


的面积是
≌

 

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  我市月份天的最高气温变化情况如图所示，将日日气温的方差记为，日日气温的方差记为观察统计图，比较，的大小：______填“、、”．
 

11.  若一个圆内接正六边形的边长是，则这个正六边形的中心角为______ 度，边心距为______ ．

12.  用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______ ．

13.  为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，与成反比例如图现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______ 分钟．

14.  如图，矩形中，，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图位置，，以此类推，这样连续旋转次后，顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知：如图，点是的边上的一点．
求作：，使点在的角平分线上，且经过、两点．

16.  本小题分
解不等式组；
化简．

17.  本小题分
现有三张正面分别标有数字，，的纸牌，且除数字外这些牌完全相同，小明和小亮用这三张牌做游戏：将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后，背面朝上放回洗匀，小亮再随机抽取一张若两人抽取的数字和为的倍数，则小明获胜；若抽取的数字和为的倍数，则小亮获胜．
请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
这是一个对游戏双方公平的游戏吗？请说明理由．

18.  本小题分
为了更好地传承中华优秀传统文化，月初，朝阳中学开展了唐诗宋词知识竞赛活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了份测试成绩百分制，单位：分如下：

通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：

某同学将初一学生得分按分数段，绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图所示均不完整．

请根据上述信息完成下列各题：
初一学生得分的众数 ______ ；初二学生得分的中位数 ______ ；
补全频数分布直方图：扇形统计图中，所对应的圆心角为______ 度；
根据以上数据，你认为初一、初二年级中，哪个年级学生唐诗宋词知识掌握较好？请说明理由写出一条理由即可．

19.  本小题分
小颖乘公共汽车从甲地到相距千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多千米时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度．

20.  本小题分
如图，在东西方向海岸线上有三个码头、和，在处测得轮船在它的北偏东方向，同一时刻在处测得轮船在它的北偏东方向，公里，如果轮船从这个位置开始沿着南偏东的方向航行可以抵达，求此时的轮船距离码头有多远结果保留一位小数
参考数据：，，，，，．

21.  本小题分
如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，和．
判断并证明四边形的形状；
为添加一个条件，使四边形是矩形请证明你的结论．

22.  本小题分
某商场试销、两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：

求、两种型号台灯的进价各为多少元？
经试销发现，型号台灯售价元与销售数量台满足关系式，此商场决定两种型号台灯共进货台，并一周内全部售出，若型号台灯售价定为元，求型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．

23.  本小题分
如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图，图，图中，，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设，，．
特例探索
如图，当，时， ______ ， ______ ；
如图，当，时， ______ ， ______ ．
归纳证明
请你观察中的计算结果，用等式表示对，，三者之间关系的猜想，并利用图证明，，三者之间的关系．

 

24.  本小题分
如图，菱形中，对角线，相交于点，且，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；直线平行，与边相交于点，与边相交于点；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，垂足为设运动时间为解答下列问题：
求证：≌；
设多边形的面积为，求与之间的函数关系式；
连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角的度数等于的度数，的
对应点为，连接，则在的运动时间内，是否存在的最小值？存在请直接给出
的值；不存在请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，故此选项不合题意；
B.的绝对值是，故此选项不合题意；
C.的绝对值是，故此选项符合题意；
D.的绝对值是，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了绝对值以及负整数指数幂的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形经过折叠能围成题中正方体纸盒，
故选：．
根据几何体三个特殊面的相对位置得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：微米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为，；
当时，，
解得：，
点的坐标为，．
由旋转可知：，，
点的坐标为，即．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
．
，
，
．
与相切，
，
，
，
．
故选：．
连接，利用圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得的度数，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余即可求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

7.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象在第一、三、四象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，交于，

正方形的面积为，
，
，
，，
，
，，
平分，
，故正确；
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故错误，
，分别是，的中点，
是的中位线，
；故正确；
平分，，，
，
的面积，故正确；
，，，
≌，故正确；
故选：．
由锐角三角函数可求，由角平分线的性质可求，故正确；由等腰三角形的性质可求的长，可得，故错误，由三角形中位线定理可求的长，故正确；由角平分线的性质和三角形的面积公式可求的面积，故正确；由“”可证≌，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据折线图可以看出，日日气温的比日日气温的波动小，
．
故答案为：．
根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小．
本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于，
正六边形的中心角，
在中，
，
即边心距为，
故答案为：，．
根据圆内接正六边形的中心角以及边心距的的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握圆内接正多边形的性质是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
所以，，
所以．
故答案为：．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边除以，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值，然后计算它们的和即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设药物燃烧时与的函数关系式为，
把代入上式得，，
，
；
设药物燃烧完后与的函数关系式为，
把代入上式得，，
，
，
当时，，；，，
此次消毒的有效时间为分钟，
故答案为：．
首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入求出两个自变量的差即为有效时间．
本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，读懂题意求出函数解析式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
转动一次的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：，
余，
顶点转动四次经过的路线长为：．
故答案为：．
首先求得每一次转动的路线的长，发现每次循环，找到规律然后计算即可．
本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：如图，先作的平分线，再作的垂直平分线交于点，接着以点为圆心，为半径作圆，
则为所作．
 

【解析】先作的平分线，再作的垂直平分线交于点，接着以点为圆心，为半径作圆，由于，所以经过点．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
 

16.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集为；



． 

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
先算括号内的式子，然后算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：画树状图为：

这个游戏对双方不公平，理由如下：
由树状图知，共有种等可能的结果，其中数字和为偶数的结果数为，数字和为的倍数的结果数为，
所以小明获胜的概率，小亮获胜的概率，
因为，
所以这个游戏对双方不公平． 

【解析】画树状图展示所有种等可能的结果；
找出数字和为偶数的结果数和数字和为的倍数的结果数，接着计算出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断游戏是否公平．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
 

18.【答案】     

【解析】解：初一学生得分出现次数最多的是，共出现次，
因此众数是，即，
初二学生得分从小到大排列后处在中间位置的两个数是和，
因此中位数，
故答案为：，；
初一学生得分在范围的人数人，补全频数分布直方图如下：

初二学生得分在相应的圆心角为，
故答案为：；
初一学生诗词知识掌握较好．
理由：初一学生得分的平均分一样，但众数、中位数都比初二的高，方差比初二的小．
根据中位数、众数的意义，求出初一的众数，初二的中位数即可；
求出初一学生得分在范围的人数，即可补全频数分布直方图，初二学生得分在的频数是，占调查人数的，因此相应的圆心角的度数占的；
从中位数、平均数、众数、方差的角度比较做出判断即可．
本题考查频数分布直方图的意义和制作方法、扇形统计图，中位数、众数、平均数的意义，用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是得出正确答案的前提．
 

19.【答案】解：设公共汽车的平均速度为千米时，则出租车的平均速度为千米时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：公共汽车的平均速度为千米时． 

【解析】设公共汽车的平均速度为千米时，则出租车的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作交的延长线于，连接，
由题意知：，，，
设公里，
在中，，
在中，，
公里，，
，
即，
解得：，
公里，
在中，公里，
答：此时的轮船距离码头有公里． 

【解析】过点作交的延长线于，设，解直角三角形求出和，进而求出，连接，在中求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形的形状是平行四边形，
理由：，是的角平分线，
为的中点，
点为的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形，
，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设、两种型号台灯的进价分别为元，元，
由题意得，，
解得：，
答：、两种型号台灯的进价分别为元，元；
型号台灯售价元与销售数量台满足关系式，此商场决定两种型号台灯共进货台，即，则型号台灯共进货台台，
设商场可获得利润为，则，
，
型号台灯售价定为元时，商场可获得最大利润为元．
此时种进台，种进台． 

【解析】根据题意列方程解答即可；
根据题意求得函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查了方程的应用和二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定售价在多少元时，总利润最大是解决问题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：如图连接，

，是的中线，
，
，
当，时，，
，是的中线，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，；
如图，连接，
当，时，
在中，，，
，，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，；
故答案为：，，，；
猜想：，理由如下：
如图，连接，
，是的中线，
是的中位线，
，且，
，
设，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
如图，由，，得到，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得，长，由勾股定理计算和的长，最后由中线的定义可得和的长即可；如图，同理根据含角的直角三角形的性质可得结论；
设，，由得到，，再由勾股定理可得结论即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中线，三角形中位线，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，根据条件表示相关的线段是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
≌；

解：四边形是菱形，
，．
，
，，
同法，，
菱形的面积的面积的面积四边形的面积

．

解：存在．
理由：如图，连接，过点作于点．

菱形的面积，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
点在射线上运动，当时，的值最小，此时，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
根据菱形的面积的面积的面积四边形的面积，求解即可；
证明≌，推出，，，推出，推出点在射线上运动，当时，的值最小．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．