2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高一强化班上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高一强化班上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式确定集合后，由交集定义计算．

【详解】由题意得：，，即，

故选：A.

【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．

2．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；

若幂函数在上是减函数，

则，解得或

故必要性不成立

因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件

故选：A

3．已知为锐角且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.

【详解】为锐角，故，而，故，

又

.

故选：C.

4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积（弦矢矢矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为，按照上述公式计算，所得弧田面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据，得到，再由弦与半径构成的三角形面积为，由求得AB，OC，代入公式求解.

【详解】由题意，，则，可得，

解得：，

又因为弦与半径构成的三角形面积为，

解得，

所以，所以弧田面积.

故选：A

5．已知为奇函数，为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由奇偶性分别求出a、b，直接代入即可求解.

【详解】因为为奇函数，且定义域为R，所以，解得：a=-1.

因为为偶函数，且定义域为R，所以，即，解得：.

所以.

所以.

故选：D

6．技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（       ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】D

【分析】根据题意可得，，两式联立，再利用对数函数的单调性求解.

【详解】由条件可知，

设将最大信息传播速度提升

那么信噪比要扩大到原来的倍，

则，

所以，

即，

所以，

解得，

故答案为：D

7．设，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项.

【详解】，

，

，

因为，故.

故，

故选：C.

8．已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若对，都有成立，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换化简，在求出变换后的函数，，根据对，都有成立，可得函数关于点对称，再根据正弦函数的性质求出，从而可计算出答案.

【详解】解：

，

将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，

得，

令，

因为对，都有成立，

所以对，都有成立，

所以函数关于点对称，

所以，则，

所以

.

故选：B.

二、多选题

9．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【解析】由正切的定义可以判断A选项，由同角三角函数的平方关系以及角的范围，可以判断B、C、D选项.

【详解】A选项：由同角三角函数的基本关系式，知，所以A错误；

B选项：，因为是第二象限角，所以，所以原式，所以B正确；

C选项：是第二象限角，所以，所以有，所以C正确；

D选项: ，但是是第二象限角，符号不确定，所以D错误；

故选：BC.

10．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在单调递减

B．函数图象关于中心对称

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为

【答案】AD

【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可 判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误.

【详解】由图象可得，且，故即，

而，故，

因为，故，故，

对于A，当，，

而在上为减函数，故在为减函数，故A正确.

对于B，，故为函数图象的对称轴，

故B错误.

对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C错误.

对于D，当时，，

因为函数的值域为，故，

故，故D正确.

故选：AD.

11．对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（ ）最先提及，因此而得名“高斯（）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（       ）

A．， B．，

C．，若，则 D．，

【答案】BC

【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：不妨取，则，而，故错误；

对B：不妨取，则，而，

满足，故B正确；

对C：因为，故可得同号；

当时，，满足题意；

当同为正数或负数时，设，其中和分别为的整数部分和小数部分，

因为，则，故，又同为小数，且符号相同，故，

即，则，若，则，故C正确；

对D：令，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

则当时，

；

又为单调增函数，故时，取得最大值；

当时，

；

又为单调增函数，故当时，取得最小值，

显然，不存在，使得，故D错误.

故选：BC.

【点睛】本题考察函数新定义问题，涉及对数的运算，函数的单调性、特值法的综合应用，属困难题.

12．已知函数和的零点分别，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用零点满足的方程及反证法可判断A的正误，估算出零点的范围后可判断BCD的范围.

【详解】因为函数和的零点分别，，

故且，

若，则，而，故，

所以即，矛盾，故不成立，

若，则，而，故，

所以即，矛盾，故不成立，

故，故A成立.

先证明一个不等式：对任意的，总有.

要证：，即证，

即证，

若，则；若，则，，则，

若，则，，则，

故成立，当且仅当时等号成立，

由引理可得，

而，故，故，

故即，故B成立.

为上的增函数，而，

而，故，故，而，

而，而，故，故.

而在上的增函数，

，故，故，故C错误.

由C的讨论可得，故，所以，

而，所以，

也就是，故D正确.

 故选：ABD.

【点睛】思路点睛：对于函数零点不可求且需要讨论零点的性质的问题，我们需要估计零点的范围，再结合不等式放缩等方法来讨论零点性质.

三、填空题

13．已知函数，则的单调增区间为______.

【答案】（-1，1）

【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.

【详解】因为，解得：，所以的定义域为.

令，则.

要求的单调增区间，只需.

所以，所以的单调增区间为.

故答案为：.

14．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为______.

【答案】

【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.

【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，

故，故即，

故，所以即，

故或，因为，故，

所以，

故答案为：.

15．已知函数，，若关于的方程有6个实根，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】作出函数图像，求的值域，利用换元法转化为两个函数图像交点问题，利用数形结合进行求解即可.

【详解】当或时不合题意，

当时，，

当时，函数的图像如下：

，

设方程，

当时方程有3根，，，其中，，

所以当分别有2根，有6根.

当或时，不合题意.

故答案为:

四、双空题

16．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.

【答案】     2    

【分析】设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解

【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为

故

扇形的面积

由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为

此时，

故答案为：2，

五、解答题

17．集合，.

(1)若，，求实数的值；

(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围.

条件：①；②；③.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.

【答案】(1)1

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）由解出或，再由集合B验证即可

（2）先解出集合A、B.

若选择条件①，由，列不等式组，即可实数的取值范围；

若选择条件②，由，列不等式组，即可实数的取值范围；

若选择条件③，由，列不等式组，即可实数的取值范围.

【详解】(1)因为，所以，所以，解得：或.

当时，，不合题意；

当时，，满足题设.

∴实数的值为1.

(2)集合.

集合.

若选择①，即

若选择②，

若选择③，则

18．已知函数.

(1)若的解集为，求不等式的解集；

(2)若，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）先判断出，，，把不等式化为，即可解得；

（2）构造基本不等式，求出的最小值.

【详解】(1)由题设知且的两根为，

所以，，可得：，

可化为：，解得：，

所以不等式的解集为

(2)，且

所以

当且仅当即，取“=”

所以的最小值为6.

19．已知对任意的，有，其中为偶函数，为奇函数.令.

(1)求函数，的解析式，并证明在上单调递增；

(2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值集合.

【答案】(1)，，证明见解析

(2)

【分析】（1）由函数的奇偶性列方程组可得解.

（2）由已知换元可得，再由恒成立列出不等式组得解.

【详解】(1)由已知得，

解得，

设，，则

，

因为，所以，，

因为，所以，，

所以，，

所以在上单调递增

(2)

又       

∴

，

，，，

∴的取值集合为

20．已知的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点.

(1)若，求的值；

(2)若且，求的单调增区间.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据三角函数的定义即可求sinα和cosα的值，再根据正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；

(2)利用三角恒等变换化简f(x)解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可.

【详解】(1)当时，，，

∴，，；

(2)，在第二象限，且，故，

，

令，k∈Z，

∴单调递增区间为.

21．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.

(1)若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？

(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.

【答案】(1)不符合要求

(2)按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）

【分析】(1)依题意求即可判断.

(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.

【详解】(1)当时，，

所以

因此诊断区不符合要求

(2)设，则，

在中，，

在中，，,

所以

，其中，

所以，当且仅当即取等号

故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.

22．定义：若函数的图像上存在一点与的图像上一点关于轴对称，则称与具备“关系”.

(1)若，，判断与是否具备“关系”，请说明理由；

(2)若与具备“关系”，求实数的范围；

(3)若，且与不具备“关系”，求整数的最大值.

【答案】(1)与不具备“关系”，理由见解析

(2)或

(3)

【分析】（1）判断函数的符号即.

（2）换元令将函数转化为函数在区间上有零点，分类讨论即可.

（3）问题转化为函数无零点，由特值分析出恒成立 ，得

，结合均值不等式可得解.

【详解】(1)与不具备“关系”

令，

∴与不具备“关系”

(2)令，，

，为偶函数，考虑的情形

当时，，满足题设

当时，，

若，在递增，，满足题设

若，，，

，所以

若，在递增，，不合题意

综上所述，实数的取值范围为或.

(3)，

观察到，因此，

当，时，，因此

所以整数的最大值.