2021-2022学年江苏省无锡市第一中学高一艺术班上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省无锡市第一中学高一艺术班上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求，再求.

【详解】由题意可知，.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的交并补，属于简单题型.

2．已知为第二象限角，且,则的值为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先求，再求的值.

【详解】是第二象限角，

，

.

故选：A

【点睛】本题考查同角三角函数关系式，重点考查基本公式和基本计算，属于简单题型.

3．已知函数，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据分段函数的定义域，代入求和的值.

【详解】， ，

.

故选：B

【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.

4．已知，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先表示角的变换，然后利用诱导公式求值.

【详解】

，

故选：B

【点睛】本题考查三角函数给值求值的问题，意在考查角的变换和计算能力，属于基础题型.

5．函数的零点所在区间是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理证明零点所在的区间.

【详解】在和是单调递增函数，

， ，

，

的零点所在的区间是.

故选：C

【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本判断方法，属于简单题型.

6．函数是上的减函数，若，，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.

【详解】，，

，，，，

是上的减函数，.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点考查指对数比较大小，属于简单题型.

7．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）

A．a≥9 B．a≤9

C．a≥10 D．a≤10

【答案】C

【分析】先把“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题转化为a≥9，再用集合法求解.

【详解】命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.

从集合的包含关系可以判断， a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．

故选：C.

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

8．函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，单调性和最值，利用排除法，对选项中的函数的图象分析､判断，即可求得答案.

【详解】函数是定义域上的奇函数

其图象关于原点对称，排除选项D；

当时，，此时，

∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；

当时，，的图象在轴下方，排除选项C；

综上所述，函数的大致图象为选项A.

故选：A.

二、多选题

9．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（       ）

A．a+c>b+c B．ac2≥bc2

C． D．(a+b)(a-b)>0

【答案】AB

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.

【详解】对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；

对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；

对于C，当c=0时，，C不正确；

对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．

故选：AB

10．函数在下列那些区间上单调递增（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】令，利用复合函数的单调性求解.

【详解】令，在 上递减，在 上递增，

又 在R上递减，

所以函数在 上递增，在 上递减，

故选;ABD

11．设函数，则下列选项正确的有（       ）

A．的最小正周期是

B．满足

C．在上单调递减，那么的最大值是

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

【答案】AC

【分析】首先化简，再利用三角函数的图像与性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对于选项，即A正确：

对于选项

，

即不是的对称轴，故B错误：

对于选项时，单调递碱，

故减区间为，，的最大值是，故C正确；

对于的图象向右平移个单位得到

，故D错误．

故选：AC．

12．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”.下列为“H函数”的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】运用二倍角公式化简函数y，再结合奇函数的性质可判断A；由函数的单调性和值域，可判断B；由指数函数的值域即可判断C；运用配方法，可取可判断D，即可求得答案.

【详解】对于A，由，函数的定义域为，

是奇函数，

由，

故只需与互为相反数时，，即可满足，

故A为“H函数”；

对于B，由，

和在上都是单调增函数

在上是单调增函数

由于递增，且，

即有任一个，可得唯一的，使得

可得，即，故B为“H函数”；

对于C，由可得，可得不成立

不成立

故C不为“H函数”；

对于D，由

若

可取，可得y无解，可得不成立

不成立

故D不为“H函数”.

故选：AB.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念､新公式､新定理､新法则､新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

三、填空题

13．幂函数的图像经过点，则_______.

【答案】

【解析】设幂函数，由条件求，再求的值.

【详解】设幂函数，

图像经过点，

，，

，

.

故答案为：3

【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.

14．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_______.

【答案】

【解析】首先设扇形弧长为，半径为，列方程求解，再利用扇形面积求解.

【详解】设扇形弧长为，半径为，

，解得：，

则扇形的面积.

故答案为：

【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型.

15．如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.

【答案】

【详解】由得图象关于点中心对称知，

，即，

即.因此，的最小值为

.

故答案为

16．已知正实数满足，则的最小值是__________．

【答案】9

【分析】设，可得，结合得到，利用基本不等式可得结果.

【详解】，

，，

设，可得，

则

，

当时，当“=”成立，即的最小值是9，故答案为9.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

四、解答题

17．设

(1)分别求

(2)若，求实数的取值范围

【答案】(1)；或

(2)

【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；

（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.

【详解】(1)解：解不等式可得，，

所以，或，或；

(2)解：由可得，且，

所以，解得，即.

18．已知锐角满足.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用公式，转化为的一元二次方程求解；

（2）首先根据诱导公式化简，然后转化为关于的齐次式子，然后再上下同时除以，代入求值.

【详解】解：（1）依题化简可得：

或

为锐角

（2）原式    

将代入上式，原式

【点睛】本题考查三角函数恒等变形，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.

19．已知函数

（1）求它的单调递增区间；

（2）若，求此函数的值域.

【答案】（1）（）；（2）.

【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可．

（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果．

【详解】（1）

由，

得，.

故此函数的单调递增区间为（）.

（2）由，得.

的值域为.

的值域为，

故此函数的值域为

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．

20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．

(1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式．注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元

【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数；

（2）分别利用二次函数及均值不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.

【详解】(1)因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：

当时，，

当时，，

∴．

(2)当时，，此时，当时，取得最大值9；

时，，

此时，当即时，取得最大值15；

∵，

∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．

21．已知函数，且为奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)解不等式：.

【答案】(1)

(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）由函数为奇函数且定义为，，可求得a的值；

（2）利用函数的单调性进行证明，即可求得答案；

（3）利用函数是奇函数和函数在定义域上单调递增的性质解不等式，即可求得答案.

【详解】(1)由函数为奇函数且定义为

当时，可得的

故

则，得

(2)由（1）知

设

由在定义域内是单调增函数

∵

∴

即

∴

即函数在定义域上单调递增.

(3)，且为奇函数，

∴

∵函数单调递增

∴

∴

∴不等式的解集为.

22．设函数，其中为常数.

（1）当时，求的定义域；

（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）转化为，解不等式；

（2）由题意转化为当恒成立，参变分离为和恒成立求参数的取值范围.

【详解】解：（1）当时，函数，要使函数有意义，只需要或

，，解得，即函数的定义域为；

（2），，

的取值范围是，

又恒成立，可得恒成立，

，，即，

故实数的取值范围是.

【点睛】本题考查解复合型的一元二次不等式和利用不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.