教科版高中物理必修第一册第2章匀变速直线运动的规律素养培优课2追及与相遇问题学案
展开追及与相遇问题
培优目标：1.理解追及与相遇问题的关系． 2.会分析追及问题的临界条件． 3.掌握求解追及问题的思路与方法．
对“追及”与“相遇”问题的认识 |
1．追及问题
(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．
(2)追及问题满足的两个关系
①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等.
②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
2．相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．
(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．
【例1】 如图所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20 m/s的速度匀速运动，乙车原来速度为8 m/s，从距甲车80 m处以大小为4 m/s2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？
思路点拨：①分析两车的运动性质．
②找出两车位移关系，列式求解．
[解析] 设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为
x甲＝v甲t，x乙＝v乙t＋at2
追上时的位移条件为x乙＝x甲＋x0
即20t＋80＝8t＋2t2
整理得t2－6t－40＝0
解得：t1＝10 s，t2＝－4 s(舍)
乙车经10 s能追上甲车．
[答案] 10 s
解决追及与相遇问题的常用方法
(1)物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．
(2)图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解．
(3)数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．
[跟进训练]
1．一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)在汽车追上自行车前，当v汽<v自时，两者间的距离如何变化？当v汽>v自时，两者间的距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？
[解析] (1)因为汽车做加速运动，自行车做匀速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即at2＝v自t
解得：t＝＝ s＝4 s
v汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s.
(2)开始阶段，v汽<v自，两者间的距离逐渐变大．后来v汽>v自，两者间的距离又逐渐减小．所以汽车追上自行车前，当v汽＝v自时，两者距离最大.
设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则
at1＝v自
代入数据得t1＝2 s
此时x自′＝v自t1＝6×2 m＝12 m
x汽′＝at＝×3×22 m＝6 m
最大距离Δx＝x自′－x汽′＝6 m.
[答案] (1)能 4 s 12 m/s
(2)见解析
追及问题的分析思路及临界条件 |
1．追及问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0≤xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则没有追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．解题思路和方法
分析物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程
【例2】 某人离公共汽车尾部20 m，以速度v向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1 m/s2的加速度从静止启动，做匀加速直线运动．试问，此人的速度v分别为下列数值时，能否追上汽车？如果能，要用多长时间？如果不能，则他与汽车之间的最小距离是多少？
(1)v＝6 m/s；(2)v1＝7 m/s.
思路点拨：①分析两者的运动性质，求出到达共速所用时间．
②分别求出各自到达共速时位移，利用位移关系分析判断能否追上及最小距离．
[解析] (1)当汽车速度达到6 m/s时，所需的时间
t＝＝ s＝6 s
在这段时间内的人的位移x1＝vt＝6×6 m＝36 m
汽车的位移x2＝at2＝×1×62 m＝18 m
因为x1<x2＋20 m，所以人不能追上汽车，此时两车有最小距离，最小距离Δx＝x2＋20 m－x1＝2 m.
(2)当汽车速度达到7 m/s时，所需的时间
t1＝＝ s＝7 s
在这段时间内的人的位移x′1＝v1t1＝7×7 m＝49 m
汽车的位移x2′＝at＝×1×72m＝24.5 m
因为x1′>x2′＋20 m，所以人能追上公共汽车．
设经过t′时间人追上汽车，有
v1t′＝at′2＋20 m
解得t1′＝4 s，t2′＝10 s(舍去)．
[答案] (1)不能 2 m (2)能 4 s
两类追及问题的解题技巧
(1)若速度大的做匀速直线运动的后者追速度小的做匀加速直线运动的前者，v1>v2两者距离减小，v1<v2两者距离增大；能否追上的临界条件是速度相等时的位移关系．若v1＝v2时x1≥x2＋s0(s0为两者初始距离)，则能追上．若追不上，v1＝v2时，两者有最小距离．
(2)后面速度小的做匀加速直线运动的物体追前面速度大的匀速运动的物体，一定能追上．v1<v2两者距离逐渐增加，v1>v2两者距离逐渐减小，即当v1＝v2时，两者具有最大的距离．
[跟进训练]
2．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：
(1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
[解析] (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，
即v2t1＝at
代入数据解得t1＝10 s
x＝at＝×2×102 m＝100 m.
(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s
Δx＝v2t2－at＝10×5－×2×52 m＝25 m.
[答案] (1)10 s 100 m (2)25 m
1．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标，在描述两车运动的vt图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况，关于两辆车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
C [由vt图像知，0～10 s内，v乙>v甲，两车逐渐远离，10～20 s内，v乙<v甲，两车逐渐靠近，故A、B错误；vt图线与时间轴所围的面积表示位移，5～15 s内，两图线与t轴包围的面积相等，故两车的位移相等，故C正确；在t＝10 s 时，两车的位移不相等，说明两车不相遇，故D错误．]
2．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的vt图像如图所示，由图可知 ( )
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
C [由图像知t＝20 s时两者达共同速度，此时两者间距最大，故选项B、D错误；20 s后v乙>v甲两者间距越来越小，乙一定会追上甲，故选项A错误，C正确．]
3．(多选)A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时( )
A．两质点速度相等
B．A与B在这段时间内的平均速度相等
C．A的瞬时速度是B的2倍
D．A与B的位移相同
BCD [整个过程，质点A、B位移相同，用时相等，故A＝B，选项B、D正确；因质点B做匀速直线运动，所以B＝vB；而A做初速度为零的匀加速直线运动，故A＝，故选项A错误，C正确．]
4．汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
[解析] 运动草图如下：
解法一：用基本公式法求解．汽车减速到4 m/s时发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝ m＝7 m
t＝＝ s＝1 s
这段时间内自行车发生的位移
x自＝v自t＝4×1 m＝4 m
汽车关闭油门时离自行车的距离
x＝x汽－x自＝(7－4)m＝3 m.
解法二：利用vt图像进行求解．如图所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的vt图像，其中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多运动的位移，即汽车关闭油门时离自行车的距离x.
图线Ⅰ的斜率大小的绝对值即为汽车减速运动的加速度大小，所以应有
x＝＝×
＝ m＝3 m.
[答案] 3 m
