数学八年级上册1.2 定义与命题复习练习题

定义与命题

知识点一、定义

定义：对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义.

1. 定义是严密的，要避免使用一些含糊不清的词语，如“大概”“差不多”等；

2. 定义是几何推理的依据，既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出发点和目标.

例：下列语句中，是定义的是（　　）

A．两点确定一条直线 

B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 

C．三角形的角平分线是一条线段 

D．同角的余角相等

知识点二、命题

1. 命题：判断一个事情的句子叫做命题.

命题的含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断.

（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和祈使句等都不是命题；

（2）判断一个语句是不是命题，不要与判断正误混淆，错误的判断也是一个命题.

2. 命题的组成：命题一般是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

3. 命题的表达形式

 一般情况下，命题的条件是用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等字样引出。若命题不具有“如果…那么…”的形式，则一般先将命题改写成“如果…那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论.

PS：在改写命题时，不仅是在原命题中添上如果”和“那么”，还要使和结论改写后命题的实质不变，与改写前的命题的内容保持一致.

例：请将命题“邻补角互补”写成“如果…那么…”的形式：                      　．

知识点三、真假命题

1. 真命题：有些命题，如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.

要说明一个命题是真命题，可先举特例验证，特例成立，还不能说明其是真命题，而要将命题转化为一般形式，再用演绎推理的方法说明结论正确

2. 假命题：有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立。像这样的命题叫做假命题.

要说明一个命题是假命题，只需举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子即可.

例：用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝　 　，b＝　　．

知识点四、定理与证明

1. 证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。

2 定理：经过证明的真命题称为定理注意定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.

3. 证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：

第一步：根据题意，画出图形；

第二步：根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

第三步：写出证明的过程

知识点五、三角形内角和定理

1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

2. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角多的和拓展三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。

3. 三角形内角和定理的证明思路：

证明三角形内角和定理的方法有很多，基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角，以便利用平角的定义证明结论。为了实现这个基本思路，完成证明，需要添加辅助线。过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线是常用方法，通过作平行线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角即可证明

巩固练习

一．选择题（共12小题）

1．下列命题中是真命题的是（　　）

A．不等式﹣3x+2＞0的最大整数解是﹣1 

B．方程x2﹣3x+4＝0有两个不相等的实数根 

C．八边形的内角和是1080° 

D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等

2．下列命题中，是假命题的是（　　）

A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 

C．等角的补角相等 D．垂线段最短

3．有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③两点之间，直线最短；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．其中是真命题的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　）

A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 

C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对

5．唐寅点秋香的故事家喻户晓了，现在我们来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”．

[规则]下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香．

友情提示：这四个人分别是：春香、夏香、秋香、冬香．

[所给人物]A，B，C，D

①A不是秋香，也不是夏香；

②B不是冬香，也不是春香；

③如果A不是冬香，那么C不是夏香；

④D既不是夏香，也不是春香；

⑤C不是春香，也不是冬香．

若上面的命题都是真命题，问谁是秋香（　　）

A．A B．B C．C D．D

6．下列命题的逆命题不成立的是（　　）

A．两条直线平行，同旁内角互补 

B．全等三角形的对应边相等 

C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 

D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

7．对于命题“若x2＝4，则x＝2”，下列能说明它是假命题的反例是（　　）

A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x＝﹣16

8．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．若|x|＝2，则x＝2 

B．平行于同一条直线的两条直线平行 

C．同位角相等 

D．任何一个角都比它的补角小

9．下面a、b的取值，能够说明命题“若a＜b，则|a|＜|b|”是假命题的是（　　）

A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5

10．下列命题中假命题有（　　）

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；

④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

11．下列命题是真命题的是（　　）

A．相等的角是对顶角 

B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c 

C．内错角相等 

D．如果a∥b，b∥c，则a∥c

12．下列命题中的真命题是（　　）

A．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥c 

B．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c 

C．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c 

D．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c

二．填空题（共12小题）

13．命题“如果两个角都是平角，那么这两个角相等”的逆命题是　                　．

14．命题“同旁内角互补”的逆命题是　          　．

15．说明命题“若x＜2，则”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是　             　．

16．命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆命题是　                　

17．说明命题“如果a、b、c是△ABC的三边，那么长为a﹣1、b﹣1、c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝　         　．

18．命题“互为相反数的两个数的和为零”的题设是　         　，结论是　         　．

19．将命题“正方形的四条边都相等”改为“如果…那么…”的形式为　                　．

20．2021年中考在即，为了同学们更好地适应中考，某中学举行了最后一次模拟适应性考试．几周前Z、W、J、L四名老师接到本次模拟考试某学科的命题任务．该学科试卷总的试题数大于20且不超过30．Z老师与J老师命题的数目之和乘以Z老师与L老师的命题数目之和其结果为132．W老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与L老师的命题数目之和其结果为210．已知W老师与J老师命题的数目之和为偶数．Z老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与J老师的命题数目之和其结果为　    　．

21．一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的，②至少有一人说错了．其中真命题是　 　（用序号①、②填写）．

22．命题“若a，b互为倒数，则ab＝1”的逆命题是　               　．

23．若命题“不是方程ax﹣2y＝1的解”为假命题，则实数a满足：　     　；

24．下列命题：①同位角相等；②如果ab＝0，那么b＝0；③不是对顶的两个角不相等；④直角三角形两锐角互余．其中，真命题是　 　（填写序号）．

三．解答题（共6小题）

25．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．

26．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．

（1）直角都相等；

（2）如果a+b＝0，那么a＝0，b＝0；

27．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．

（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．

（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．

28．阅读下面材料：

判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．

例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：

如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．

请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）

29．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？

（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．

①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　               　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　               　；

请选择其中一种情况说明理由．

②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　               　．

（2）应用②中的真命题，解决以下问题：

若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．

30．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．

（1）你构造的是哪几个命题？

（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）．