高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列第1课时学案设计

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第1课时 等比数列的定义
最新课程标准
1.理解等比数列的定义．(重点)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
[教材要点]
知识点一 等比数列的概念
(1)文字语言：
一般地，如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________，那么这个数列{an}就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．
eq \x(状元随笔) 等比数列还可以用哪种符号语言表示？
[提示] eq \f(an,an－1)＝q(q为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)．
知识点二 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
知识点三 等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝________，而f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(q≠1)是一个不为0的常数eq \f(a1,q)与指数函数qx的乘积，从图像上看，表示数列eq \f(a1,q)·qn中的各项的点是函数y＝________的图像上的________点．
[基础自测]

1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1
3．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)或－eq \f(2,3)
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝________.
题型一 等比数列的判断
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
方法归纳
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
1．定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．
2．等比中项法：aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列．
3．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．
4．构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
题型二 等比数列的通项公式
eq \x(状元随笔)
1. 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？
[提示] 由等比数列的定义可知：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4，…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
2．由等比数列的定义式eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？
[提示] 由eq \f(an＋1,an)＝q，知eq \f(a2,a1)＝q，eq \f(a3,a2)＝q，eq \f(a4,a3)＝q，…，eq \f(an,an－1)＝q，将以上各式两边分别相乘可得eq \f(an,a1)＝qn－1，则an＝a1qn－1；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝a1qn－1，,am＝a1qm－1))两式相比得eq \f(an,am)＝qn－m，
则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝eq \f(1,2)，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？
[提示] 若a1＝2，q＝eq \f(1,2)，则a3＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)；
若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，
所以q＝±2，
由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”．
例2 在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
方法归纳
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪训练2 在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
教材反思
1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项问题，难点是等比数列的证明．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)等比数列的判断与证明的方法．
(2)等比数列通项公式的求法．
等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
eq \x(温馨提示：请完成课时分层作业六)
5．3 等比数列
5．3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义
新知初探·自主学习
知识点一
(1)2 同一常数 公比
知识点二
a1qn－1
知识点三
eq \f(a1,q)·qn eq \f(a1,q)·qx 孤立
[基础自测]
1．解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
答案：D
2．解析：由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
答案：C
3．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝18，,a1q3＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3))).
又a1＜0，因此q＝－eq \f(2,3).
答案：C
4．解析：∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝eq \f(1,4)，②
∴②÷①得：q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)由S1＝eq \f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq \f(1,3)(a1－1)，
∴a1＝－eq \f(1,2).
又S2＝eq \f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq \f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq \f(1,4).
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)(an－1)－eq \f(1,3)(an－1－1)，
得eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2).又a1＝－eq \f(1,2)，
所以{an}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列．
跟踪训练1 证明：∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴eq \f(an＋1,an)＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
例2 解析：(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
所以q＝±eq \f(1,2).
当q＝eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－3＝28－n；
当q＝－eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
所以an＝28－n或an＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
(2)当an＝eq \f(1,2)时，28－n＝eq \f(1,2)或32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3＝eq \f(1,2)，
解得n＝9.
跟踪训练2 解析：(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝eq \f(a2,a1)＝－3，
∴a5＝405.
(2)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2， ①,a1q6＝8， ②))
由eq \f(②,①)得q3＝4，从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，
于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝2eq \f(2n－5,3).