初三知识点复习（无答案）

知识模块

一元二次方程

对称图形——圆

数据的集中趋势和离散程度

等可能条件下的概率

典型例题：

一元二次方程

选择

已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（　　）

A． B．﹣ C．﹣ D．

（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．12 B．9 C．13 D．12或9

填空

（2018•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　   　．

（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　   　．

（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　 　．

（2018•绵阳）已知a＞b＞0，且++=0，则=　     　．

（2018•黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　　．

（2018•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　　．

解答

已知：关于x的方程x2−(k+2)x+2k=0

(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出500kg，售价毎涨1元，月销售量就减少10kg．

（1）写出月销售利润y（元）与售价x（元/kg）之间的函数表达式；

（2）当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？

（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．

对称图形——圆

选择

（2018•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）A．2cm              B．4cm              C．2cm或4cm              D．2cm或4cm

（2018•白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°

（2018•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（　　）

A．6 B．8 C．5 D．5

（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

填空

（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　  　cm．

（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　   　

（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　   　．

（2018•哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为________

（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为___________

（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是__________

（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　   　．

（2018•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以

OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　   　．

如图，已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2)，⊙C的圆心坐标为(−1,0)，半径为1。若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是_______

如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点。当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是________

如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是________

如图,已知⊙C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为⊙C上一动点,经过点O的直线l上有两点A. B,且OA=OB,∠APB=90∘，l不经过点C，则AB的最小值为。

如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=,则下列结论：①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④S阴影=.其中正确结论的序号是___.

解答题

如图,Rt△ABC中,∠C=90∘，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长。

（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

（2018•德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．

（1）求证：AD⊥CD；

（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．

如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0)，点P是该直角坐标系内的一个动点。

(1)使∠APB=30∘的点P有___个；

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30∘，求满足条件的点P的坐标；

(3)当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值?若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由。

三、数据的集中趋势和离散程度与概率

体育课上，九年级2名学生各练习10次立定跳远，要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生立定跳远成绩的(        )

A. 平均数    B. 众数    C. 中位数        D. 方差

九年级某班部分同学利用课外活动时间，积极参加篮球定点投篮的训练，训练后的测试成绩如下表所示：

回答下列问题：

（1）训练后篮球定点投篮进球数的众数是　　个，中位数是　　个；

（2）若训练后的人均进球数比训练前增加25%，求训练前的人均进球数．

（本题满分8分）张强和叶轩想用抽签的方法决定谁去参加“优胜杯”数学竞赛。游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则张强去参赛；否则叶轩去参赛．

（1）用列表法或画树状图法，求张强参赛的概率．

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

相似

.（本题满分8分）如图，在中，，点在边上移动（点不与点、重合），满足，且点、分别在边、上．

（1）求证：；

（2）当点移动到的中点时，求证：平分．

（11分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点， =，弦CD交AB于点E．

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；

（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；

（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

如图，在中，、相交于点，直线于，直线于．
 

线段、有什么样的数量关系？直接写出结论；

若直线绕点旋转到图的位置时，其它条件不变，线段、有什么样的数量关系？请给予证明；

若直线饶点继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图不同位置的图形，并给予证明．

如图，在中，，，．现在有动点从点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿折线向终点运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒．

如图，在上，当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？

如图，在上，是否存着某时刻，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
 

二次函数

（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．

（1）请直接写出点B、D的坐标：B（         ），D（         ）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）求证：ED是⊙P的切线；

（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2−2x+c的图象与x轴交于A. B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求四边形ABPC的面积的最大值；

（3）是否存在点P，使得∠BCP=∠ACO,若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

（4）若∠CPB=135°时，求P点坐标；

（5）当三角形△POC为等腰三角形时，同时在x轴上点有两个动点E（a,0）,F(a+1,0)，求四边形PCEF周长的最小值及F点坐标；

(6)若X轴上存在动点Q使得以点A、C、P、Q四边形为平行四边形，求Q点坐标；

（7）在线段OC上有一动点M，求：MB+MC  的最小值