初三 圆 试题无答案

圆

类型1  弧中点的运用

在⊙O中，点C是的中点，CE⊥AB于点E.

（1）在图1中，你会发现这些结论吗？

①AP＝CP＝FP；

②CH＝AD；

②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.

（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？

【典例】

（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．

【变式运用】

1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝　　．（）

类型2  切割线互垂

在Rt△ABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F.

【典例】

（2018泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．

（1）求证：CO2＝OF•OP；

（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．

【变式运用】

（2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．

（1）求证：CD＝CE；

（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

类型3  双切线组合

径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.

Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.

【典例】

（2018·四川乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．

（1）求证：AC∥PO；

（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．

【变式运用】

（2018·湖北武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.

(1) 求证：PB是⊙O的切线.

(2) 若∠APC＝3∠BPC，求的值.

类型4  圆内接等边三角形

如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.

(1)  求证：PA＝PB＋PC；

(2)  设PA、BC交于点M，

①     若BP＝4，PC＝2，求CM的长度.

②    若AB＝4，PC＝2，求CM的长度.

【典例】

（2018·湖南常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

 （2）求证：BD＝CF．

【变式运用】

如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.

（1）求证：FB＝FC；

（2）FB2＝FA·FD；

（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.

类型5  三切线组合

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E.

【典例】

（2018·湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE·BE___________.

【变式运用】

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH. 

(1)求证：MH为⊙O的切线. 

(2)若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径.

(3) 在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度. 

【巩固练习】

1. （2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°

2. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．

3. （2018·山东威海·3分）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（　　）

A．18+36π       B．24+18π    C．18+18π     D．12+18π

4. （2018·湖北十堰·3分）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6

填空题

1. （2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　   　．

2. （2018年江苏省南京市•2分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　 　．

3. （2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为    　．

解答题

1. （2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．

 2.（2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；

延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．

3. （2018•江苏扬州•10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．