2022年中考数学二轮专题《最值问题》（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《最值问题》

一 、选择题

1.一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（    ）

A.14          B.15         C.16          D.17

2.如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(      )

A.4 dm       B.2 dm     C.2 dm       D.4 dm

3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(　　)

A.6        B.8        C.10        D.12

4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为(　　)

A.2         B.2         C.4              D.4

5.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，

在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（  ）

A.4                        B.2          C.2         D.2

6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90º，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是(          )

A.4        B.6        C.8           D.10

二 、填空题

7.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　　　　　　．

8.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　　       ．

9.已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5图象如图，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为________ 
 

10.如图，正方形ABCD的边长为15，点E在边CD上，CE=3，点F是边AD上不与点A，D重合的一个动点，将△DEF沿EF折叠，使点D落在点G处，则线段BG长的最小值为________．

11.如图,已知点C(1，0)，直线y=－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是               ．

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，E点坐标为       ．
  

三 、解答题

13.已知一次函数y=kx+b的图象过P（1，4），Q（4，1）两点，且与x轴交于A点．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求△POQ的面积；

（3）已知点M在x轴上，若使MP+MQ的值最小，求点M的坐标及MP+MQ的最小值．

14.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

  （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；

请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？

15.若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x+y，y是正整数），所以M也是“丰利数”．

（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是　 　，并判断20　 “丰利数”．（填是或不是）；

（2）已知S=x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“丰利数”，试求出符合条件的一个k值（10≤k＜200），并说明理由．

16. (1)将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.

例如，求x2+4x+5的最小值.

解：原式=x2+4x+4+1=(x+2)2+1

∵(x+2)2≥0   ∴(x+2)2+1≥1

∴当x=﹣2时，原式取得最小值是1

请求出x2+6x﹣4的最小值.

(2)非负性的含义是指大于或等于零.在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0.

请根据非负算式的性质解答下题：

已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，求△ABC的周长.

(3)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac.试判断△ABC的形状.

四 、综合题

17.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

18.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形.

（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

0.答案解析

1.答案为：B.

2.答案为：A.

3.答案为：C.

4.答案为：C.

5.A

6.B.

7.答案为：2.4．

8.答案为：．

9.答案为：y最大=．

10.答案为：.

11.答案为：10；

12.答案为：(1、0) ；

13.解：

（1）y=-x+5；

（2）面积为7.5；

（3）y=5/3x-17/3.

14.

15.解：

（1）∵62=36，82=64，

∴最小的三位“丰利数”是：62+82=100，

∵20=42+22，

∴20是“丰利数”

故答案为：101；是；

（2）S=x2+y2+2x﹣6y+k，…6分

=（x2+2x+1）+（y2﹣6y+9）+（k﹣10），

=（x+1）2+（y﹣3）2+（k﹣10），

当（x+1）2、（y﹣3）2是正整数的平方时，k﹣10为零时，S是“丰利数”，

故k的一个值可以是10

备注：k的值可以有其它值：0+4+1，得k=11；9+0+4，得k=14．

16.解：(1)x2+6x﹣4

=x2+6x+9﹣9﹣4

=(x+3)2﹣13，

∵(x+3)2≥0

∴(x+3)2﹣13≥﹣13

∴当x=﹣3时，原式取得最小值是﹣13.

(2)∵a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，

∴(a﹣3)2+(b﹣4)2+|c﹣5|=0，

∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，

∴a=3，b=4.c=5，

∴△ABC的周长=3+4+5=12.

(3)△ABC为等边三角形.理由如下：

∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，

∴a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc=0，

∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc=0，

即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，

∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，

∴a=b=c，

∴△ABC为等边三角形.

四 、综合题

17.解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=5；

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN==3，∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，

∴=，即=，解得AF=，即AF=时，△MEF的周长最小；

（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，

∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R==5，

∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．

18.（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=EF=EP，

∴四边形BFEP为菱形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．

∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE=BC=5cm．

在Rt△CDE中，DE=4cm，

∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，

∴EP2=12+（3﹣EP）2，解得：EP=5/3cm，

∴菱形BFEP的边长为5/3cm.

②当点Q与点C重合时，如图2：

点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；

当点P与点A重合时，如图3所示：

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，

∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．