2022年中考数学二轮专题《相似三角形探究》（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《相似三角形探究》

一 、选择题

1.如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是(     )

A.∠ACD=∠DAB    B.AD=DE   C.AD2=BD·CD    D.AD·AB=AC·BD

2.一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有(　 　)

A.一种       B.两种      C.三种       D.四种或四种以上

3.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)

图1　　　　　          　　　　 图2

A.两人都对                   B.两人都不对                    C.甲对，乙不对          D.甲不对，乙对

4.如图，在3×3正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形.

给出下列命题：

①一定存在全等的两个格点三角形

②一定存在相似且不全等的两个格点三角形

③一定存在两个格点三角形是位似图形

④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形

其中真命题的个数是(　　)

A.4个        B.3个            C.2个        D.1个

5.如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，

（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）AC2=AP·AB（4）AB•CP=AP•CB，

其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（　　）

A.1个       B.2个        C.3个         D.4个

6.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(　　)

A.一定相似

B.当E是AC中点时相似

C.不一定相似

D.无法判断

二 、填空题

7.在△ABC中，AB=9，AC=6.点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN=____时，△AMN与原三角形相似.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P是线段BO、OA上的动点，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　   　.

9.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.

如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为             .

10.如图，两个相似的等腰△ABC、△DEF的底边BC、EF均平行于y轴，BC:EF=1：2，D是BC的中点，点A、C，F都在反比例函数y=kx-1（k＞0）在第一象限内的图象上，且A的纵坐标是3，则BC的长是      ．

三 、解答题

11.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm，OB=6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

12.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=   °．

（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．

13.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y=(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点.

(1)求点D的坐标；

(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标.

四 、综合题

14.如图，抛物线 y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(－2，1)，交y轴于点M.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P，A，N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米．

(1)设点Q的运动速度为每秒厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．

(2)设点Q的运动速度为每秒a厘米，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4k+4与抛物线y=x2﹣x交于A、B两点.

(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；

(2)点P在抛物线上，当k=﹣时，解决下列问题：

①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；

②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标.

0.答案解析

1.答案为：D.

2.答案为：B.

3.答案为：A.

4.答案为：B

5.答案为：C

6.答案为：A.

7.答案为：2或4.5.

8.答案为：(0，)，(2，0)，(，0).

9.答案为：113°或92°.

10.答案为：1.5．

11.解：①∵∠POQ=∠BOA，若△POQ∽△BOA，

则=，即=.解得t=2；

②∵∠POQ=∠AOB，若△POQ∽△AOB，

则=，即=.解得t=4.

综上所述，当t=2或t=4时，△POQ与△AOB相似.

12.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

（2）由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴=，

设BD=x，

∴（）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x=﹣1，

∵△BCD∽△BAC，

∴==

13.解：(1)∵四边形OABC为矩形，∴AB⊥x轴.

四 、综合题

14.解：(1)抛物线的表达式为y=x2－x＋1

(2)存在点P，使得以点P，A，N为顶点的三角形与△MAO相似．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．

①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，

∴－m2－m＋1=3(m＋3)，

即m2＋11m＋24=0.解得m=－3(舍去)或m=－8.

又－3<m<0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，

∴－m2－m＋1=3(－m－3)，即m2＋11m=24=0.解得m=－3(舍去)或m=－8.

此时点P的坐标为(－8，－15)

③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则－3(－m2－m＋1)=m＋3，

即m2＋m－6=0.解得m=－3(舍去)或m=2.

当m=2时，此时点P的坐标为(2，－)．

若PN=3NA，则－(－m2－＋1)=3(m＋3)，

即m2－7m－30=0.解得m=－3(舍去)或m=10，此时点P的坐标为(10，－39)．

所以，满足条件的点P的坐标为(－8，15)，(2，－)，(10，－39)

15.解：(1)如图，当∠1=∠2时，=，

∴=，∴t2＋6t－60=0，解得t1=－6＋2，t2=－6－2(舍去)，

当∠1=∠3时，=，解得t=7，

因此，当t=－6＋2或7时，即当Q点的坐标为(10，－3＋)或(10，)时，△COP与PAQ相似

(2)设P，Q运动时间为t秒，则OP=t，AQ=at.

①当∠1=∠3=∠4时，==，==，解得t1=2，t2=18(舍去)，

此时a=，Q点的坐标为(10，)；

②当∠1=∠3=∠5时，∠CPQ=∠CQP=90°不成立；

③当∠1=∠2=∠4时，==，==，得5t2－36t＋180=0，Δ＜0，

方程无实数解；

④当∠1=∠2=∠5时，由图可知∠1=∠PCB＞∠5，故不存在这样的a值；

综上所述，存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似，

此时a=，Q点的坐标为(10，).

16.解：(1)∵y=kx﹣4k+4=k(x﹣4)+4，

即k(x﹣4)=y﹣4，

而k为任意不为0的实数，

∴x﹣4=0，y﹣4=0，解得x=4，y=4，

∴直线过定点(4，4)；

(2)当k=﹣时，直线解析式为y=﹣x+6，

解方程组得或，则A(6，3)、B(﹣4，8)；

①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，

设P(x， x2﹣x)，则Q(x，﹣ x+6)，

∴PQ=(﹣x+6)﹣(x2﹣x)=﹣(x﹣1)2+，

∴S△PAB=(6+4)×PQ=﹣(x﹣1)2+=20，解得x1=﹣2，x2=4，

∴点P的坐标为(4，0)或(﹣2，3)；

②设P(x， x2﹣x)，如图2，

由题意得：AO=3，BO=4，AB=5，

∵AB2=AO2+BO2，

∴∠AOB=90°，

∵∠AOB=∠PCO，

∴当=时，△CPO∽△OAB，

即=，整理得4|x2﹣x|=3|x|，

解方程4(x2﹣x)=3x得x1=0(舍去)，x2=7，此时P点坐标为(7，)；

解方程4(x2﹣x)=﹣3x得x1=0(舍去)，x2=1，此时P点坐标为(1，﹣)；

当=时，△CPO∽△OBA，即=，整理得3|x2﹣x|=4|x|，

解方程3(x2﹣x)=4x得x1=0(舍去)，x2=，此时P点坐标为(，)；

解方程3(x2﹣x)=﹣4x得x1=0(舍去)，x2=﹣，此时P点坐标为(﹣，)

综上所述，点P的坐标为：(7，)或(1，﹣)或(﹣，)或(，).