数学八年级上册3 一次函数的图象导学案

一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；

2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．

3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、函数图象及一次函数的定义

1.函数图象的概念

    把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.

2.一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.

要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.

3.画函数图象的一般步骤

   总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤

   第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．

   第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．

   第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．

要点二、一次函数的图象与性质

1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；

当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；

当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.

2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：

决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．

4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：

（1）与相交；   （2），且与平行；

要点三、待定系数法求一次函数解析式

　  一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.

要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

要点四、分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.

要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

【典型例题】

类型一、待定系数法求函数的解析式

1、（2020春•东平县校级期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；

（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．

【思路点拨】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；

（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．

【答案与解析】解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，则B的坐标是（1，2），

设一次函数的解析式是y=kx+b，

则，

解得：．

则一次函数的解析式是y=﹣x+3；

（2）当a=4时，y=﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；

（3）一次函数的解析式y=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，

则D的坐标是（3，0）．

则S△BOD=OD×2=×3×2=3．

【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．

举一反三：

【变式1】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.

【答案】

解：

设一次函数的解析式为.

当过时，；

当过时，；

所以，一次函数的解析式为或.

【变式2】在平面直角坐标系中，已知两点，，在轴上求作一点P，使AP＋BP最短，并求出点P的坐标.

【答案】

解：作点A关于轴的对称点为，连接，与轴交于点P，点P即为所求.

设直线的解析式为，

直线过，

的解析式为：，它与轴交于P（0，1）.

类型二、一次函数图象的应用

2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：

    (1)求李明上坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式；

    (2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?

【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.

【答案与解析】

解：(1)设，由已知图象经过点(6，900)，得900＝6．解得＝150．

所以＝150(0≤≤6)．

       设，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，

得解得 

所以＝300－900(6<t≤10)．

    (2)李明返回时所用的时间为

       (2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．

因此，李明返回时所用的时间为11分钟．

【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．

类型三、一次函数的性质

3、（2020•呼和浩特）已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（　　）

A．k＞1，b＜0   B．k＞1，b＞0     C．k＞0，b＞0     D．k＞0，b＜0

【思路点拨】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．

【答案】A；

【解析】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，

∵函数值y随x的增大而增大，

∴k﹣1＞0，解得k＞1；

∵图象与x轴的正半轴相交，

∴图象与y轴的负半轴相交，

∴b＜0．

故选：A．

【总结升华】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．

举一反三：

【变式1】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（   ）．

A．                B．                C．                D．

【答案】C；

提示：对于A，从看 ＜0，＜0，从看＜0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.对于B，从看＞0，＜0，从看＞0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B. D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求.

【变式2】（2014•杭州模拟）已知直线y1=x，，的图象如图，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为　     　．

【答案】2.

解：根据题意，y的最大值为直线y2与y3的交点的纵坐标，

联立，

解得，

所以，当x=3时，y的值最大，为2．

故答案为：2．

类型四、一次函数综合

4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标．

【答案与解析】

解：由题意得，，则

.

一次函数的图象过点，

.

当时，，； 
当时，，.

综上所述，点A的坐标为或.

【总结升华】我们可以把点A、B的坐标用、表示出来，根据OA＝3OB可以建立一个关于、的方程，再根据它的图象过P，可以再找到一个关于、的方程，两个方程联立，即可求出、的值，就可以求出点A的坐标.