第02讲 向量的运算(分层训练)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）

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基础组
一、选择题(共6小题)
1．(2020秋•上饶期末)已知向量a→，b→的夹角为30°，|a→|=2，|b→|=3，则|2a→+b→|=( )
A．3；B．3；C．31；D．12
【答案】C．
【解析】∵向量a→与b→的夹角为30°，|a→|=2，|b→|=3，∴|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4×22+4×2×3×32+(3)2=31．
2．(2020秋•商洛期末)已知向量a→，b→满足|a→|=2|b→|=4，且a→⋅b→=-43，则向量a→，b→的夹角是( )
A．π6；B．5π6；C．π3；D．2π3
【答案】B．
【解析】由题意可得cs〈a→，b→〉=a→⋅b→|a→||b→|=-434×2=-32，由于向量的夹角的范围为[0，π]，
则向量a→，b→的夹角是5π6．
3．(2020秋•房山区期末)在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB=12，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AC→⋅BE→=( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】C．
【解析】如图，∵AD=1，AB=12，∠BAD=60°，
又AC→=AB→+AD→，BE→=BC→+CE→=AD→-12AB→，
∴AC→⋅BE→=(AB→+AD→)⋅(AD→-12AB→)=-12AB→2+AD→2+12AB→⋅AD→=-18+1+18=1．
4．(2020秋•丹东期末)设向量a→，b→不共线，向量a→+b→与2a→-kb→共线，则实数k＝( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】A．
【解析】向量a→，b→不共线，向量a→+b→与2a→-kb→共线，
则2a→-kb→=λ(a→+b→)，(2﹣λ)a→-(k+λ)b→=0→，2-λ=0k+λ=0，解得λ＝2，k＝﹣2．
5．(2020秋•朝阳区校级期末)已知平面向量a→=(1，m)，b→=(-1，3)，且|a→-b→|=|a→+b→|，则m＝( )
A．233；B．33；C．3；D．33
【答案】B．
【解析】∵|a→-b→|=|a→+b→|，∴(a→-b→)2=(a→+b→)2，
即a→2+b→2-2a→⋅b→=a→2+b→2+2a→⋅b→，∴a→⋅b→=-1+3m=0，解得m=33．
6．(2021•九模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，F为BC上的点且DF＝2FC，则EF→=( )
A．712AB→-112AC→；B．-112AB→-712AC→；C．712AB→+112AC→；D．-112AB→+712AC→
【答案】D．
【解析】如图所示：EF→=ED→+DF→=12AD→+23DC→
=12AD→+13BC→=12×12(AB→+AC→)+13(AC→-AB→)=-112AB→+712AC→．
二、多选题(共3小题)
7．(2020秋•大连期末)下列结论正确的是( )
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
B．若ae1→+be2→=ce1→+de2→，(a，b，c，d∈R，e1→，e2→是单位向量)，则a＝c，b＝d；
C．向量a→与b→共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a→+λ2b→=0→；
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP→=xOA→+yOB→，则x+y＝1
【答案】CD．
【解析】根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底，故A错误；
当e1→，e2→是共线向量时，结论不一定成立，故B错误；
若a→与b→均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a→+λ2b→=0→；
若a→≠0→，则由两向量共线知，存在λ，使得b→=λa→，即λa→-b→=0→，符合题意，故C正确；
由于A，B，P三点共线，所以AB→，AP→共线，由共线向量定理可知，存在实数λ使得AP→=λAB→，即OP→-OA→=λ(OB→-OA→)，所以OP→=(1﹣λ)OA→+λOB→，故x＝1﹣λ，y＝λ，所以x+y＝1，故D正确．
8．(2020秋•湖南月考)已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，则下列结论中正确的是( )
A．a→⋅b→=-2；B．a→⊥(a→+b→)；C．|a→-b→|=7；D．a→与b→的夹角为π3
【答案】BC．
【解析】|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=1+2a→⋅b→+4=3，∴a→⋅b→=-1，
∴a→⋅(a→+b→)=0，∴a→⊥(a→+b→)，|a→-b→|=a→2-2a→⋅b→+b→2=7，
cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=-12，∴a→与b→的夹角为2π3，故BC正确．
9．(2020秋•重庆月考)已知向量a→=(1，3)，b→=(﹣2，1)，c→=(3，﹣5)，则( )
A．(a→+2b→)∥c→；B．(a→+2b→)⊥c→；C．|a→+c→|=10+34；D．|a→+c→|=2|b→|
【答案】AD．
【解析】a→+2b→=(﹣3，5)，故A对B错；
|a→+c→|=(1+3)2+(3-5)2=25=2|b→|，故C错D对，综上，AD正确．
三、填空题(共3小题)
10．(2020秋•新余期末)已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，|AB→|＝63，|AC→|＝6，AE→=12ED→，则AE→⋅EB→等于______．
【答案】14．
【解析】依据题意作出如下图象：因为AE→=12ED→，所以A，E，D三点共线．AE→=13AD→=13×12(AB→+AC→)，EB→=-BE→=-(BA→+AE→)=-(-56AB→+16AC→)=56AB→-16AC→，
又AB→⋅AC→=0，所以AE→⋅EB→=16(AB→+AC→)⋅(56AB→-16AC→)=136(5AB→2-AC→2)=136(5×(63)2-62)=14．
11．(2020秋•威宁县期末)已知单位向量a→和b→满足|a→+b→|=5|a→-b→|，则a→与b→的夹角的余弦值为______．
【答案】23．
【解析】根据题意，设a→与b→的夹角为θ，若|a→+b→|=5|a→-b→|，则(a→+b→)2＝5(a→-b→)2，
变形可得2+2csθ＝5(2﹣2csθ)，解可得：csθ=23．
12．(2020秋•天津期末)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD=π3，点EF在CD上且满足DE→=13DC→，DF→=23DC→，若M为AB的中点，且AF→⋅ME→=1，则AB的长为______．
【答案】94．
【解析】如图，∵DE→=13DC→，DF→=23DC→，且DC→=AB→，MA→=-12AB→，
∴AF→=AD→+DF→=AD→+23AB→，ME→=MA→+AD→+DE→=-12AB→+AD→+13AB→=-16AB→+AD→，且AD=1，∠BAD=π3，AF→⋅ME→=1，∴(AD→+23AB→)⋅(-16AB→+AD→)=AD→2-19AB→+12AB→⋅AD→=1-19|AB→|2+14|AB→|=1，解得|AB→|=94或0(舍去)，∴AB=94．
四、解答题(共2小题)
13．(2020秋•上饶期末)已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
(1)若(2a→-b→)⊥b→时，求x的值；
(2)若向量a→与向量b→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
【答案】(1)x＝﹣2或x＝4；(2){x|x＞-6，且x≠23}．
【解析】(1)∵向量a→=(1，3)，b→=(x，2)，∴2a→-b→=(2-x，4)，
∵(2a→-b→)⊥b→，∴(2a→-b→)⋅b→=0，∴x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝﹣2或x＝4；
(2)∵向量a→与向量b→的夹角为锐角，∴a→⋅b→＞0，且向量a→与向量b→不共线，
∴x+6＞03x≠2，解得x＞﹣6，且x≠23，∴x的取值范围为{x|x＞-6，且x≠23}．
14．(2020秋•威宁县期末)已知向量a→与b→的夹角为120°，|a→|=2，|b→|=1．
(Ⅰ)若|a→-2b→|；
(Ⅱ)若(a→+tb→)⊥(2a→-b→)，求实数t的值．
【答案】(1)23；(2)3．
【解析】(Ⅰ)∵|a→|=2，|b→|=1，＜a→，b→＞=120°，
∴|a→-2b→|=(a→-2b→)2=a→2-4a→⋅b→+4b→2=4+4+4=23；
(Ⅱ)∵(a→+tb→)⊥(2a→-b→)，∴(a→+tb→)⋅(2a→-b→)=2a→2+(2t-1)a→⋅b→-tb→2=8﹣(2t﹣1)﹣t＝0，解得t＝3．
提高组
一、选择题(共6小题)
1．(2020秋•大通县期末)已知a→，b→为单位向量，且a→，b→的夹角为π3，则|2a→-b→|＝( )
A．1；B．2；C．3；D．2
【答案】C．
【解析】a→，b→为单位向量，且a→，b→的夹角为π3，所以|2a→-b→|=(2a→-b→)2=3．
2．(2020秋•湖北月考)已知平面上三个不同的点M，F，P，若MF→⋅MP→=|MP→|2，则( )
A．PM⊥PF；B．PM⊥MF；C．PM→⋅PF→＜0；D．PM→⋅PF→＞0
【答案】A．
【解析】因为MF→=MP→+PF→，所以MF→⋅MP→=(MP→+PF→)⋅MP→=MP→2+PF→⋅MP→=MP→2，所以PF→⋅MP→=0，所以PM⊥PF．
3．(2020秋•三明期末)设非零向量a→，b→的夹角为θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→-b→)，则θ等于( )
A．30°；B．60°；C．120°；D．150°
【答案】B．
【解析】∵非零向量a→，b→的夹角为θ，若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→-b→)，∴(a→+2b→)•(3a→-b→)＝3a→2+5a→⋅b→-2b→2=3a→2+5|a→|•|2a→|csθ﹣8a→2=0，∴csθ=12，∴θ＝60°，
4．(2020秋•营口期末)已知圆C的半径为3，AB是圆C的一条直径，M，N为圆上动点，且MN＝4，点E在线段MN上，则AE→⋅BE→的最小值为( )
A．﹣3；B．﹣4；C．﹣5；D．﹣6
【答案】B．
【解析】由题意得，AC→=-BC→，
AE→⋅DE→=(AC→+CE→)•(BC→+CE→)=AC→⋅BC→+AC→⋅CE→+BC→⋅CE→+CE→2，
=-AC→2+CE→⋅(AC→+BC→)+CE→2，=-AC→2+CE→2，
当CE→⊥MN→时，|CE→|取最小值，此时|CE→|min=CM2-ME2=5．
故AE→⋅BE→的最小值为﹣9+5＝4．
5．(2021•五模拟)已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上的点，且BE→=2EA→，F为BC的中点，则AF→•DE→=( )
A．﹣2；B．﹣5；C．﹣6；D．﹣8
【答案】B．
【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系，则B(0，0)，A(0，3)，D(4，3)，E(0，2)，F(2，0)，AF→=(2，﹣3)，DE→=(﹣4，﹣1)，则AF→•DE→=2×(﹣4)+(﹣3)×(﹣1)＝﹣5．
6．(2021•十模拟)在△ABC中，点M为边BC的中点，点N在线段AM上，并且3AN＝2NM，则BN→=( )
A．-45AB→+15AC→；B．45AB→-15AC→；C．45AB→+15AC→；D．-45AB→-15AC→
【答案】A．
【解析】如图，∵M为BC的中点，∴AM→=AB→+AC→2，又3AN＝2NM，∴AN→=25AM→=AB→+AC→5，
∴BN→=AN→-AB→=-45AB→+15AC→．
二、多选题(共3小题)
7．(2019秋•文登区期末)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则下列结论正确的是( )
A．AB→⋅A1C1→=-a2；B．BD→⋅BD1→=2a2；C．AC→⋅BA1→=-a2；D．AB→⋅AC1→=2a2
【答案】BC．
【解析】如图，以A为原点，以边AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：A(0，0，0)，B(a，0，0)，A1(0，0，a)，C1(a，a，a)，D(0，a，0)，D1(0，a，a)，C(a，a，0)，∴AB→=(a，0，0)，A1C1→=(a，a，0)，BD→=(-a，a，0)，BD1→=(-a，a，a)，AC→=(a，a，0)，BA1→=(-a，0，a)，AC1→=(a，a，a)，∴AB→⋅A1C1→=a2，BD→⋅BD1→=2a2，AC→⋅BA1→=-a2，AB→⋅AC1→=a2．
8．(2020秋•沙坪坝区校级月考)在平行四边形ABCD中，|AB→|=2，|AD→|=1，DE→=2EC→，AE交BD于F且AE→⋅BD→=-2，则下列说法正确的有( )
A．AE→=13AC→+23AD→；B．DF→=25DB→；
C．＜AB→，AD→＞=π3；D．FB→⋅FC→=2725
【答案】BCD．
【解析】对于选项A：AE→=AD→+DE→=AD→+23DC→=AD→+23(AC→-AD→)=13AD→+23AC→，故选项A不正确；
对于选项B：易证明△DEF∽△BFA，所以DFBF=DEAB=23，所以DF→=23FB→=25DB→，故选项B正确；
对于选项C：AE→•BD→=-2，即(AD→+23AB→)•(AD→-AB→)＝﹣2，所以AD→2-13AB→•AD→-23AB→2＝﹣2，所以1-13AB→•AD→-23×4＝﹣2，解得AB→•AD→=1，cs＜AB→，AD→＞=AB→⋅AD→|AB→|×|AD→|=12×1=12，因为＜AB→，AD→＞=[0，π]，所以＜AB→，AD→＞=π3，故选项C正确．
对于选项D：FB→•FC→=35DB→•(FD→+DC→)=35(AB→-AD→)•(25BD→+AB→)，
=35(AB→-AD→)•[25(AD→-AB→)+AB→]=35(AB→-AD→)•(35AB→+25AD→)，
=925×AB→2-3AB→•AD→-625×AD→2=925×4-325-625=2725，故选项D正确．
9．(2020秋•鼎城区校级期中)已知向量a→=(m，3)，b→=(2，-4)，若(a→+b→)⊥a→，则( )
A．m＝1或m＝﹣3；B．m＝﹣1或m＝3；
C．|a→+b→|=2或|a→+b→|=10；D．|a→+b→|=2或|a→+b→|=26
【答案】AC．
【解析】根据题意，向量a→=(m，3)，b→=(2，-4)，则a→+b→=(m+2，﹣1)，
若(a→+b→)⊥a→，则有m(m+2)+(﹣1)×3＝m2+2m﹣3＝0，解可得：m＝1或﹣3，故A正确，B错误；
当m＝1时，a→+b→=(3，﹣1)，则|a→+b→|=9+1=10，当m＝﹣3时，a→+b→=(﹣1，﹣1)，则|a→+b→|=1+1=2，故|a→+b→|=2或10，故C正确，D错误．
三、填空题(共3小题)
10．(2020秋•南平期末)已知向量a→=(1，1，0)，b→=(-1，0，2)，若(a→+kb→)与(2a→+b→)互相垂直，则实数k的值为______．
【答案】﹣1．
【解析】根据题意，向量a→=(1，1，0)，b→=(-1，0，2)，
则a→+kb→=(1﹣k，1，2k)，2a→+b→=(1，2，2)，
若(a→+kb→)与(2a→+b→)互相垂直，则(a→+kb→)•(2a→+b→)=1﹣k+2+4k＝0，解可得k＝﹣1．
11．(2020秋•永州期末)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与D1B1的交点，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则向量AM→______(用a→，b→，c→表示)．
【答案】12a→+12b→+c→．
【解析】如图，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则AM→=AA1→+A1M→=AA1→+12A1C1→=AA1→+12(A1B1→+A1D1→)=AA1→+12(AB→+AD→)=12a→+12b→+c→．
12．(2020秋•西湖区校级期末)若ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=π3，则AB→•AD→=______，|AB→-CB→|＝______．
【答案】2；23．
【解析】因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=π3，所以AB→•AD→=|AB→||AD→|cs∠BAD=2×2×12=2；|AB→-CB→|=|AB→+BC→|=|AC→|，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs120°=22+22-2×2×2×(-12)=12，所以AC=23，故|AB→-CB→|=23．
四、解答题(共2小题)
13．(2020秋•浦东新区期末)已知a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)，c→=b→-λa→．
(1)求a→与b→的夹角θ的余弦值；
(2)若a→⊥c→，求实数λ的值和向量c→．
【答案】(1)-1010；(2)λ=-25，c→=(125，-65)．
【解析】(1)∵a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)．∴a→与b→的夹角θ的余弦值为：
csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=2-45⋅8=-1010．
(2)∵a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)，c→=b→-λa→．∴c→=(2，﹣2)﹣(λ，2λ)＝(2﹣λ，﹣2﹣2λ)，
∵a→⊥c→，∴a→⋅c→=1×(2﹣λ)+2×(﹣2﹣2λ)＝0，解得λ=-25，∴c→=(125，-65)．
14．(2020秋•辽阳期末)(1)设a→，b→是两个不共线的向量，AB→=a→-2b→，BC→=a→+b→，CD→=a→-5b→，证明：A，B，D三点共线．
(2)已知E，F分别是△ABC边AB，AC上的点，且EF∥BC，AE=23AB．如果AE→=a→，AF→=b→，试用向量a→，b→表示BC→，CE→．
【答案】(1)略；(2)BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，CE→=AE→-AC→=a→-32b→．
【解答】证明：(1)：因为AB→=a→-2b→，BC→=a→+b→，CD→=a→-5b→，
所以BD→=BC→+CD→=a→+b→+a→-5b→=2a→-4b→=2AB→，因为BD→与AB→有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
解：(2)因为EF∥BC，AE=23AB，所以AB→=32AE→=32a→，AC→=32AF→=32b→，
所以BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，所以CE→=AE→-AC→=a→-32b→．
附：分层训练答案
基础组
一、选择题(共6小题)
1．C；2．B；3．C；4．A；5．B；6．D．
二、多选题(共3小题)
7．CD；8．BC；9．AD．
三、填空题(共3小题)
10．14；11．23；12．94．
四、解答题(共2小题)
13．(1)x＝﹣2或x＝4；(2){x|x＞-6，且x≠23}．
14．(1)23；(2)3．
提高组
一、选择题(共6小题)
1．C；2．A；3．B；4．B；5．B；6．A．
二、多选题(共3小题)
7．BC；8．BCD；9．AC．
三、填空题(共3小题)
10．﹣1；11．12a→+12b→+c→；12．2；23．
四、解答题(共2小题)
13．(1)-1010；(2)λ=-25，c→=(125，-65)．
14．(1)略；(2)BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，CE→=AE→-AC→=a→-32b→．