四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测 理科数学试题

成都市2019级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i为虚数单位，则（）

A. 1+i B. 1－i

C－1+i D. －1－i

【答案】B

2. 设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是直径为的圆．则该几何体的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

4. 的展开式中的系数为（）

A.  B. 160 C.  D. 80

【答案】A

5. 在区间（－2，4）内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

6. 设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 已知数列的前项和为．若，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

8. 若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（）

A. －4 B. －3 C. 4 D. 3

【答案】B

9. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

11. 在四棱锥中，已知底面为矩形，底面，.若分别为的中点，经过三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

12. 已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为______．

【答案】

14. 已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．

【答案】

15. 定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.

【答案】

16. 已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．

【答案】

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 某中学为研究课外阅读时长对语文成绩影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：

（1）估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．

【答案】（1）平均数为分钟

（2）

18. 已知函数，其中，且．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）

（2）

19. 如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点.

（1）证明：；

（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；

（2）

20. 已知椭圆C：经过点，其右顶点为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值.

【答案】（1）

（2）

21. 已知函数，其中.

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）

22. 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中为常数且．

（1）求直线的普通方程与曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于两点，求的取值范围．

【答案】（1）当时，直线；当时，直线；曲线；

（2）.

23. 已知函数，．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若对，关于的不等式恒成立，当时，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）