2021学年9.1 向量概念学案

9.1 向量概念

一、向量的概念及表示

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向量.

2.向量的表示

向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为，向量也可用小写字母a、b、c来表示，书写时用、、表示。

3.向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||。

4.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作；零向量的方向是任意的。

5.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量。

【练一练】

1．在下列说法中正确的有（    ）

①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；

②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；

③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；

④平面上的数轴都是向量.

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误.

【解析】解：既有大小，又有方向的量统称为向量，

结合向量的定义可知仅有②④错误，

结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，

故选：B.

2．下列说法中，正确的是（    ）

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】D

【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.

【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；

②零向量的方向任意，故错误；

③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；

④任意向量与零向量都共线，正确；

故选：D

二、向量间的关系

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如图，向量、、是一组平行向量。

向量与向量平行，记作。

规定：零向量与任一向量平行。

【拓展】平行向量的情况

两个平行的非零向量在其方向与长度两个要素上可能出现以下四种情况：

（1）方向相同，长度不等；

（2）方向相同，长度相等（相等向量）；

（3）方向相反，长度相等；

（4）方向相反，长度不等。

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量与相等，记作。

3.共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。

【拓展】向量相等具有传递性，即若，，则.若，，未必有。但若，则，，可得。

4.向量的夹角：对于两个非零向量，在平面内任取一点0，作 =,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量与的夹角.当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反O相向；当θ=90°时，则称向量与垂直，记作。

5.相反向量

我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作-，与-互为相反向量.

规定：零向量的相反向量仍是零向量；

对任意一个向量，总有-(-)=。

【练一练】

1．下列命题中，正确的是________．（填序号）

①若，则；    ②若，则；

③若，则；    ④若，则．

【答案】③

【分析】根据向量相等、共线、模长、零向量的概念，依次判断即得解

【解析】选项①，要保证，则，且方向相同，故①错误；

选项②，向量有大小和方向两个要素，不可比较大小，故②错误；

选项③，若，且大小相等，方向相同，故，故③正确；

选项④，若，则，故④错误

故答案为：③

2．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.

①零向量平行于任意向量；

②对于非零向量，若，则；

③对于非零向量，若，则；

④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.

【答案】①③

【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.

【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；

对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，

故不一定等于，故②错误；

对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；

对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.

故选：①③

一、向量基本概念的辨析

(1)向量具备方向和大小两个特征，求解问题时要同时考虑这两个方面.

(2)共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。另外，讨论共线向量时，不要忘记对零向量的讨论。

【例1】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

（1）作出向量，，；

（2）求 的模．

【答案】（1）见解析；（2）米

【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.

（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.

【解析】（1）作出向量，，；如图所示：

（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，

所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，

所以AD＝＝(米)，

所以|米.

二、判断共线向量和相等向量

判断向量是否共线，首先是看向量的起点和终点是否都在同一直线上或观察其所在直线是否平行.而判断两向量是否相等，不仅要看向量所在直线是否平行或共线，还要看其方向是否相同，模是否相等.

【例2】如图，点O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

（1）分别写出与，相等的向量；

（2）写出与共线的向量；

（3）写出与的模相等的向量；

（4）判断向量与是否相等；

（5）写出与垂直的向量．

【答案】（1），；

（2），，；

（3），，，，，，；

（4）不相等；

（5），，，.

【分析】（1）根据相等向量的概念，即可得出结果；

（2）根据共线向量的概念，即可得出结果；

（3）根据向量模的概念，即可得出结果；

（4）根据相等向量的概念，即可得出结果；

（5）根据向量垂直的概念，即可得出结果.

【解析】（1）因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，

所以，；

由题可得：，；

（2）由题可得，与共线的向量有：，，；

（3）由题可得，与模相等的向量有：，，，，，，；

（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同．

（5）与垂直的向量有：，，，.

一、单选题

1．给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．

其中不是向量的有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C

2．下列说法：

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C

3．下列说法正确的是（    ）

A．向量与共线，与共线，则与也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C．向量与不共线，则与都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

【答案】C

【解析】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．故选：C.

4．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A．①④ B．③ C．①②③ D．②③

【答案】B

【解析】①中，的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；③中，为任一非零向量，则，故③正确；④中，由题，故④错误，故选：B．

5．下列命题正确的是（    ）

A．若，则、、、四点构成平行四边形

B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

C．若、都是单位向量，则

D．向量与是两平行向量

【答案】D

【解析】对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错；对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.故选：D.

6．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（    ）

（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；

（3）若，则；           

（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】（1）由相等向量的定义知（1）正确；（2）平行且模相等的两个向量，可能方向相反，不相等，（2）错；（3）不相等的两个向量，模可能相等，例如所有单位向量模都是1．（3）错；（4）根据相等向量的定义知（4）错．因此只有1个命题正确．故选：C．

二、填空题

7．模为0的向量叫做零向量，记作：___________.

【答案】

【解析】由零向量的定义及表示可知：零向量记为.故答案为：

8．给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若，则；

③若，则，，，四点构成平行四边形；

④在平行四边形中，一定有；

⑤若，，则；

⑥若向，，则．

其中错误的命题有__．（填序号）

【答案】①②③⑥

【解析】在①中，两个零向量相等，则它们的起点与终点不一定相同，故①错误；

在②中，若，则与大小相等，方向不一定相同，故②错误；

在③中，若，则，，，四点不一定构成平行四边形，故③错误；

在④中，在平行四边形中，由向量相等的定义得一定有，故④正确；

在⑤中，若，，则向量相等的定义得，故⑤正确；

在⑥中，若向，，当时，与不一定平行，故⑥不正确．

故答案为：①②③⑥．

9．图中，小正方形的边长为1，则||＝__，||＝__，||＝__．

【答案】3        2   

【解析】由题意可知：||3．

||．

||．

故答案为：3；；2．

三、解答题

10．如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，

（1）与的夹角是多少？

（2）与垂直的向量有哪些？

【答案】（1）45°

（2）.

【分析】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，

则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°，

所以与的夹角为45°.

（2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，

显然，BF是圆O的直径，，，如图：

所以与垂直的向量有：.

11．如图，，，，是⊙O上的八个等分点，则在以，，，以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？

【答案】模等于圆半径的向量有16，等于半径倍的向量有16个。

【解析】由图可知，模等于圆半径的向量为，，，，共16个；图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径倍的向量，共16个。

12．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.

（1）写出与共线的向量；

（2）写出与的模大小相等的向量；

（3）写出与相等的向量.

【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与.

【解析】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，

所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；

（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；

（3）与相等的向量有：与。

13．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与相等的向量；

（2）与长度相等的向量；

（3）与共线的向量.

【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）

【解析】画出图形，如图所示．

（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，

所以与长度相等的向量为，，，，，，.

（3）与共线的向量为，，。