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考点61 N次独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望、方差与正态分布（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题
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这是一份考点61 N次独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望、方差与正态分布（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共15页。
考点61 独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望、方差与正态分布
简单的条件概率
1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
2．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________．
3.(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
相互独立事件同时发生的概率
4.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示．
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36＜Z≤79.5)；
(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案．
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表．
赠送的随机话费/元
20
40
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：≈14.5，
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
5.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条件》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝P，利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望．
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.
独立重复试验与二项分布
6．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．
考向4 离散型随机变量的均值与方差及应用
7.在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中答对第5题的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设Pi′为第i题的实测难度，并定义统计量S＝[(P1′－P1)2＋(P2′－P2)2＋…＋(Pn′－Pn)2]，若S＜0.05，则本次测试的难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理．
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
1.解析：选A.P＝1－≥，解得n≥4.
2．用电脑每次可以自动生成一个(0，1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为( )
A. B．
C． D．
2.解析：选C.由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为＝.故选C.
3．(多选题)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则( )
A．P(A)＝ B．P(C)＝
C．P(AB)＝ D．P(ABC)＝
3.解析：选AC.由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为A，B是相互独立事件，C与A，B不是相互独立事件，所以P(ABC)＝是错误的，P(AB)＝，故选AC.
4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B．
C． D．
5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________．
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．
8．箱中有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出2个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．
9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
10.每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群众中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果如茎叶图所示，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
(1)求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；
(2)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数，求X的分布列及E(X)．
11. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
1．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683，0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165，52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制( )
A．683套 B．955套
C．972套 D．997套
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B．
C． D．
3.某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．
4．某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)＝________．
5．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
6.从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8＜Z＜112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 5.
7.某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示.
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90，100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在[80，90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在[60，80)内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率．
(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望；
(2)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关；
A机器生产的产品
B机器生产的产品
总计
良好以上(含良好)
合格
总计
(3)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器．你认为该工厂会怎么做？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.010
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
6.635
8．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
考点练
1.解析：选B.设事件Ai(i＝1，2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6＝P(A1)·P(A2)＝＝0.75.故选B.
2.解析：P(B|A)表示豆子落在正方形内的条件下落入三角形OHE内，故其概率P＝＝.
答案：
3.解析：由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜，则共比赛了5场，且第5场甲胜，前4场中甲胜3场．第一类：第1场、第2场中甲胜1场，第3场、第4场甲胜，则P1＝C×0.6×0.4×0.52＝2×××＝；第二类：第1场、第2场甲胜，第3场、第4场中甲胜1场，则P2＝0.62×C×0.5×0.5＝×2×＝，所以甲队以4∶1获胜的概率为P＝×0.6＝0.18.
答案：0.18
4.解：(1)由题易得E(Z)＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，所以μ＝65，所以得分Z服从正态分布N(65，210)，又σ＝≈14.5，
所以P(50.5＜Z≤79.5)≈0.682 7，P(36＜Z≤94)≈0.954 5，
所以P(36＜Z≤50.5)＝(0.954 5－0.682 7)×＝0.135 9，
所以P(36＜Z≤79.5)＝P(36＜Z≤50.5)＋P(50.5＜Z≤79.5)＝0.135 9＋0.682 7＝0.818 6.
(2)易知P(Z＜μ)＝P(Z≥μ)＝，X的所有可能取值为20，40，60，80.
则P(X＝20)＝×＝，P(X＝40)＝×＋××＝，
P(X＝60)＝××＋××＝，P(X＝80)＝××＝.
所以X的分布列为
X
20
40
60
80
P
所以X的数学期望E(X)＝20×＋40×＋60×＋80×＝.
5.解：(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.
(2)①由题知μ＝9，σ2＝1.78，
∴X～N(9，1.78)，σ＝＝ ≈.
∴P(X≤10)＝P(Y≤)＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.
②由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20，0.226 6)，P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419≈1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的数学期望E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
6.解：(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ，且事件A、B相互独立”．
故P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B，
则P(ξ＝k)＝C
＝C(k＝0，1，2，3，4)．
故变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
7.解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4，
因此第5题的实测难度为＝0.2，
所以，估计240人中有240×0.2＝48人实测答对第5题．
(2)X的所有可能取值是0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
(3)将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度．
列表如下：
题号
1
2
3
4
5
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
S＝×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012，
因为S＝0.012＜0.05，
所以，该次测试的难度预估是合理的．
拓展练
4.解析：选D.设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
5.解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率
P1＝P( BCD＋A CD＋AB D＋ABC )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，
4人使用设备的概率
P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，
故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.
6.解析：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙两人从另外两个景点中选择，所以甲独自去一个景点的可能情况共有3×2×2＝12(种)．因为三个人去的景点不同的可能情况共有3×2×1＝6(种)，所以P(A|B)＝＝.
答案：
7.解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以曲线的对称轴是直线x＝1，因为ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，所以ξ在(1，2)内取值的概率为0.4，所以ξ在(－∞，2]内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.
答案：0.9
8.解析：由题意知，获奖的概率P＝＝，记获奖的人数为ξ，ξ～B，∴4人中恰好有3人获奖的概率
P＝C×＝.
答案：
9.解：(1)P(A)＝＝.
因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．
所以P(B)＝＝.
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.
(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.
10.解：(1)设事件A＝{抽出的3人中至少有1人是“很幸福”的}，则表示{3人都认为不很幸福}，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
(2)样本中，幸福度为“很幸福”的概率为＝.根据题意知，随机变量X～B，X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C＝，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
11.解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
模拟练
1.解析：选B.设学生的身高为随机变量ξ，则P(155＜ξ＜175)＝P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.955.因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955＝955(套)．故选B.
2.解析：选C.设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.故选C.
3.解析：因为成绩服从正态分布X～N(90，a2)，
所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，
又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人)．
答案：180
4.解析：中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包，现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)＝C×0.42×0.62＋C×0.43×0.6＝.
答案：
5.解：(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C××＝.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A34 5)＋P(1A2A3A45)＋P(1 2A3A4A5)＝×＋××＋×＝.
(3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3)．
由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6.
P(ξ＝0)＝P(1 2 3)＝＝；
P(ξ＝1)＝P(A12 3)＋P(1A23)＋P(1 2A3)
＝×＋××＋×＝；
P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)
＝×＋×＝；
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
6.解：(1)由频率估计概率，
产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为
ξ
90
－30
P
0.67
0.33
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100，150)，
从而P(87.8＜Z＜112.2)＝P(100－12.2＜Z＜100＋12.2)＝0.682 7.
②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的概率为0.682 7，依题意知X～B(500，0.682 7)，
所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.
7.解：(1)从茎叶图可以知道，样本中等级为优秀的产品有2件是A机器生产的，3件是B机器生产的，所以X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.3.
得到X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
解法一：E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2.
解法二：因为X服从超几何分布，其中N＝5，M＝3，n＝2，
所以E(X)＝＝1.2.
(2)完成2×2列联表如下．
A机器生产的产品
B机器生产的产品
总计
良好以上(含良好)
6
12
18
合格
14
8
22
总计
20
20
40
结合列联表中的数据，可得K2的观测值k＝＝≈3.636＜3.841，
故在误差不超过0.05的情况下，不能认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关．
(3)A机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，
B机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，
因为53－47＝6(万元)，6＞5，
所以该工厂应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器.
8.解：(1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，即a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，
由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，
由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
考点61 独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望、方差与正态分布
简单的条件概率
1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
2．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________．
3.(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
相互独立事件同时发生的概率
4.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示．
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36＜Z≤79.5)；
(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案．
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表．
赠送的随机话费/元
20
40
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：≈14.5，
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
5.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条件》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝P，利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望．
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.
独立重复试验与二项分布
6．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．
考向4 离散型随机变量的均值与方差及应用
7.在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中答对第5题的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设Pi′为第i题的实测难度，并定义统计量S＝[(P1′－P1)2＋(P2′－P2)2＋…＋(Pn′－Pn)2]，若S＜0.05，则本次测试的难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理．
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
1.解析：选A.P＝1－≥，解得n≥4.
2．用电脑每次可以自动生成一个(0，1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为( )
A. B．
C． D．
2.解析：选C.由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为＝.故选C.
3．(多选题)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则( )
A．P(A)＝ B．P(C)＝
C．P(AB)＝ D．P(ABC)＝
3.解析：选AC.由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为A，B是相互独立事件，C与A，B不是相互独立事件，所以P(ABC)＝是错误的，P(AB)＝，故选AC.
4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B．
C． D．
5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________．
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．
8．箱中有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出2个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．
9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
10.每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群众中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果如茎叶图所示，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
(1)求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；
(2)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数，求X的分布列及E(X)．
11. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
1．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683，0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165，52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制( )
A．683套 B．955套
C．972套 D．997套
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B．
C． D．
3.某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．
4．某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)＝________．
5．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
6.从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8＜Z＜112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 5.
7.某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示.
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90，100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在[80，90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在[60，80)内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率．
(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望；
(2)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关；
A机器生产的产品
B机器生产的产品
总计
良好以上(含良好)
合格
总计
(3)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器．你认为该工厂会怎么做？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.010
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
6.635
8．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
考点练
1.解析：选B.设事件Ai(i＝1，2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6＝P(A1)·P(A2)＝＝0.75.故选B.
2.解析：P(B|A)表示豆子落在正方形内的条件下落入三角形OHE内，故其概率P＝＝.
答案：
3.解析：由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜，则共比赛了5场，且第5场甲胜，前4场中甲胜3场．第一类：第1场、第2场中甲胜1场，第3场、第4场甲胜，则P1＝C×0.6×0.4×0.52＝2×××＝；第二类：第1场、第2场甲胜，第3场、第4场中甲胜1场，则P2＝0.62×C×0.5×0.5＝×2×＝，所以甲队以4∶1获胜的概率为P＝×0.6＝0.18.
答案：0.18
4.解：(1)由题易得E(Z)＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，所以μ＝65，所以得分Z服从正态分布N(65，210)，又σ＝≈14.5，
所以P(50.5＜Z≤79.5)≈0.682 7，P(36＜Z≤94)≈0.954 5，
所以P(36＜Z≤50.5)＝(0.954 5－0.682 7)×＝0.135 9，
所以P(36＜Z≤79.5)＝P(36＜Z≤50.5)＋P(50.5＜Z≤79.5)＝0.135 9＋0.682 7＝0.818 6.
(2)易知P(Z＜μ)＝P(Z≥μ)＝，X的所有可能取值为20，40，60，80.
则P(X＝20)＝×＝，P(X＝40)＝×＋××＝，
P(X＝60)＝××＋××＝，P(X＝80)＝××＝.
所以X的分布列为
X
20
40
60
80
P
所以X的数学期望E(X)＝20×＋40×＋60×＋80×＝.
5.解：(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.
(2)①由题知μ＝9，σ2＝1.78，
∴X～N(9，1.78)，σ＝＝ ≈.
∴P(X≤10)＝P(Y≤)＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.
②由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20，0.226 6)，P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419≈1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的数学期望E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
6.解：(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ，且事件A、B相互独立”．
故P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B，
则P(ξ＝k)＝C
＝C(k＝0，1，2，3，4)．
故变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
7.解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4，
因此第5题的实测难度为＝0.2，
所以，估计240人中有240×0.2＝48人实测答对第5题．
(2)X的所有可能取值是0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
(3)将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度．
列表如下：
题号
1
2
3
4
5
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
S＝×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012，
因为S＝0.012＜0.05，
所以，该次测试的难度预估是合理的．
拓展练
4.解析：选D.设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
5.解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率
P1＝P( BCD＋A CD＋AB D＋ABC )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，
4人使用设备的概率
P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，
故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.
6.解析：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙两人从另外两个景点中选择，所以甲独自去一个景点的可能情况共有3×2×2＝12(种)．因为三个人去的景点不同的可能情况共有3×2×1＝6(种)，所以P(A|B)＝＝.
答案：
7.解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以曲线的对称轴是直线x＝1，因为ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，所以ξ在(1，2)内取值的概率为0.4，所以ξ在(－∞，2]内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.
答案：0.9
8.解析：由题意知，获奖的概率P＝＝，记获奖的人数为ξ，ξ～B，∴4人中恰好有3人获奖的概率
P＝C×＝.
答案：
9.解：(1)P(A)＝＝.
因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．
所以P(B)＝＝.
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.
(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.
10.解：(1)设事件A＝{抽出的3人中至少有1人是“很幸福”的}，则表示{3人都认为不很幸福}，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
(2)样本中，幸福度为“很幸福”的概率为＝.根据题意知，随机变量X～B，X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C＝，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
11.解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
模拟练
1.解析：选B.设学生的身高为随机变量ξ，则P(155＜ξ＜175)＝P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.955.因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955＝955(套)．故选B.
2.解析：选C.设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.故选C.
3.解析：因为成绩服从正态分布X～N(90，a2)，
所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，
又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人)．
答案：180
4.解析：中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包，现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)＝C×0.42×0.62＋C×0.43×0.6＝.
答案：
5.解：(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C××＝.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A34 5)＋P(1A2A3A45)＋P(1 2A3A4A5)＝×＋××＋×＝.
(3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3)．
由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6.
P(ξ＝0)＝P(1 2 3)＝＝；
P(ξ＝1)＝P(A12 3)＋P(1A23)＋P(1 2A3)
＝×＋××＋×＝；
P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)
＝×＋×＝；
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
6.解：(1)由频率估计概率，
产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为
ξ
90
－30
P
0.67
0.33
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100，150)，
从而P(87.8＜Z＜112.2)＝P(100－12.2＜Z＜100＋12.2)＝0.682 7.
②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的概率为0.682 7，依题意知X～B(500，0.682 7)，
所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.
7.解：(1)从茎叶图可以知道，样本中等级为优秀的产品有2件是A机器生产的，3件是B机器生产的，所以X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.3.
得到X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
解法一：E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2.
解法二：因为X服从超几何分布，其中N＝5，M＝3，n＝2，
所以E(X)＝＝1.2.
(2)完成2×2列联表如下．
A机器生产的产品
B机器生产的产品
总计
良好以上(含良好)
6
12
18
合格
14
8
22
总计
20
20
40
结合列联表中的数据，可得K2的观测值k＝＝≈3.636＜3.841，
故在误差不超过0.05的情况下，不能认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关．
(3)A机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，
B机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，
因为53－47＝6(万元)，6＞5，
所以该工厂应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器.
8.解：(1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，即a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，
由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，
由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
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