多维层次练61-n次独立重复试验及二项分布学案

这是一份多维层次练61-n次独立重复试验及二项分布学案，共13页。

1．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝2，D(X)＝eq \f(4,3)，则p＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析：由随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝eq \f(4,3)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(np＝2，,np（1－p）＝\f(4,3)，))解得p＝eq \f(1,3).
答案：C
2．(2020·乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.2 D.eq \f(8,3)
解析：因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大点号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
答案：D
3．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3 B．eq \f(7,2)
C．eq \f(18,5) D．4
解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2，3，4，其概率分别为P(ξ＝2)＝eq \f(Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(3,3),Aeq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3),Aeq \\al(4,5))＝eq \f(6,10)，所以E(ξ)＝2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,10)＋4×eq \f(6,10)＝eq \f(7,2).故选B.
答案：B
4．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝( )
A．2 B．1
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：每次取球时，取到红球的概率为eq \f(2,3)，黑球的概率为eq \f(1,3)，所以取出红球的概率服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，所以D(X)＝3×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,3)，故选C.
答案：C
5．从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E(ξ)＝( )
A．eq \f(4,5) B．1
C．eq \f(7,5) D．2
解析：随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(0,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5).
则随机变量ξ的分布列为
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1.故选B.
答案：B
6．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
解析：由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.
答案：ACD
7．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．
解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
8．设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，则P(2解析：由题意，得n＝6，p＝eq \f(1,3)，所以P(2答案：eq \f(220,729)
9．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表
(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．
(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，
则P(M)＝eq \f(Ceq \\al(3,25),Ceq \\al(3,50))＝eq \f(23,196).
(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，
当a＝39时，X＝39×6＝234，
当a＝40时，X＝40×6＝240，
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.
所以X的所有可能取值为228，234，240，247，254.
故X的分布列为：
所以E(X)＝228×eq \f(1,10)＋234×eq \f(1,5)＋240×eq \f(1,5)＋247×eq \f(2,5)＋254×eq \f(1,10)＝241.8.
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．
由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．
因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．
10．(2021·广东省适应性考试)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设部件1，2，3需要调整分别为时间A，B，C，
由题P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1，2都不需要调整的概率P(·)＝P()·P()＝0.9×0.8＝0.72.
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1－P(·)＝0.28.
(2)X可取0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(··C)＝P()·P()·P()＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
X的分布列：
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
[综合应用练]
11．(2019·浙江卷)设0则当a在(0，1)内增大时，( )
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
解析：由题意知E(X)＝0×eq \f(1,3)＋a×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＝eq \f(a＋1,3)，
因此，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,3)－0))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,3)－a))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋(eq \f(a＋1,3)－1)2×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)[(a＋1)2＋(1－2a)2＋(a－2)2]＝eq \f(1,27)(6a2－6a＋6)＝eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))).
当0当eq \f(1,2)故当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．
答案：D
12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B.eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D.eq \f(670,243)
解析：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,9)，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，
P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,81).
E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).
答案：B
13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000)，为确保保险公司有可能收益，则a的取值范围是________．
解析：X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布列为
E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－eq \f(a,200).
若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，
所以a∈(1 000，20 000)．
答案：(1 000，20 000)
14．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq \f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq \f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析：由已知条件P(X＝0)＝eq \f(1,12)，
即(1－p)2×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12)，解得p＝eq \f(1,2).
随机变量X的取值分别为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \f(1,12)，
P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,3)，
P(X＝2)＝2×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,12)，
P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,6).
因此随机变量X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,12)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(5,12)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
15．某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(1)求P(132.2(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l<115时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
参考数据：eq \r(150)≈12.2.
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数＝90×0.02＋100×0.09＋110×0.22＋120×0.33＋130×0.24＋140×0.08＋150×0.02＝120，
抽取产品质量指标值的方差s2＝900×0.02＋400×0.09＋100×0.22＋0×0.33＋100×0.24＋400×0.08＋900×0.02＝150.
所以l～N(120，150)，又σ＝eq \r(150)≈12.2，
所以P(μP(μ所以P(132.2(2)由频数分布表得，P(l<115)＝0.02＋0.09＋0.22＝0.33，P(l≥115)＝1－0.33＝0.67.
随机变量ξ的取值为90，－30，且P(ξ＝90)＝0.67，P(ξ＝－30)＝0.33.
则随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ)＝90×0.67－30×0.33＝50.4.
[拔高创新练]
16．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、北海(广西)、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔各答、内罗毕、雅典和威尼斯共13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．
(1)求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；
(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n(10≤n≤13，n∈N*)，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率、欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
解：(1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则P(A)＝1－P()＝1－eq \f(Ceq \\al(3,8),Ceq \\al(3,13))＝eq \f(115,143)，
所以所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为eq \f(115,143).
(2)设该产品每月的总利润为Y，
①当n＝10时，产品可完全售出，
故Y＝100×10＝1 000(万元)．
②当n＝11时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50＝950(万元)．
月需求量为110万件及以上时，获利Y＝100×11＝1 100(万元)，
P(Y＝950)＝eq \f(6,60)＝0.1，
P(Y＝1 100)＝1－P(Y＝950)＝1－0.1＝0.9.
Y的分布列为
所以E(Y)＝950×0.1＋1 100×0.9＝1 085(万元)．
③当n＝12时，
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×2＝900(万元)
月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50＝1 050(万元)
月需求量为120万件及以上时，获利Y＝100×12＝1 200(万元)
P(Y＝900)＝eq \f(6,60)＝0.1，P(Y＝1 050)＝eq \f(24,60)＝0.4，
P(Y＝1 200)＝eq \f(18＋12,600)＝0.5.
Y的分布列为
所以E(Y)＝900×0.1＋1 050×0.4＋1 200×0.5＝1 110(万元)．
④当n＝13时，
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×3＝850(万元)
月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50×2＝1 000(万元)
月需求量为120万件时，获利Y＝100×12－50＝1 150(万元)
月需求量为130万件时，获利Y＝100×13＝1 300(万元)．
P(Y＝850)＝eq \f(6,60)＝0.1，P(Y＝1 000)＝eq \f(24,60)＝0.4，
P(Y＝1 150)＝eq \f(18,60)＝0.3，P(Y＝1 300)＝eq \f(12,60)＝0.2.
Y的分布列为
所以E(Y)＝850×0.1＋1 000×0.4＋1 150×0.3＋1 300×0.2＝
1 090(万元)．
综上，当n＝12时，E(Y)＝1 110(万元)最大，
所以欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
X
228
234
240
247
254
P
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
eq \f(1,10)
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
X
0
a
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
100
100－a
P
0.995
0.005
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,3)
eq \f(5,12)
eq \f(1,6)
分组
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
[125，135)
[135，145)
[145，155]
频数
2
9
22
33
24
8
2
ξ
90
－30
P
0.67
0.33
月需求量(单位：万件)
100
110
120
130
月份数
6
24
18
12
Y
950
1 100
P
0.1
0.9
Y
900
1 050
1 200
P
0.1
0.4
0.5
Y
850
1 000
1 150
1 300
P
0.1
0.4
0.3
0.2