考点16 利用导数研究函数的单调性（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点16 利用导数研究函数的单调性（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共29页。试卷主要包含了所以g>1，不合题意，【解析】．等内容，欢迎下载使用。

考点16 利用导数研究函数的单调性

函数的单调性的简单应用 [来源:Z.xx.k.Com]
1.已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1，2) D．[2，＋∞)
2.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设，证明：．
含参数函数求单调区间
1.函数f (x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D．(－∞，a)
2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
3.已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；[来源:学科网ZXXK]
(2)求函数f (x)的单调区间．

给出函数的单调性求参数
1.已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．
3.已知函数f (x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)．
(1)若f (x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________；
(2)若f (x)在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．

4.已知函数f (x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求B．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

一、单选题
1．“”是“函数是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设函数是奇函数的导函数，，当时，．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在区间 [1， 2] 上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
7．已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在上是增函数
C．函数是奇函数 D．方程的解为
9．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
10．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的范围为________
11．已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.
12．已知函数，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，则实数m的取值范围是_____.
四、解答题
13．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，试求实数的取值范围．
14．已知函数（，），.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，，求的单调区间和最小值.
15．已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
16．已知函数（，，其中为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数有两个不同的零点，当时，求实数的取值范围.


一、单选题
1．函数f（x）的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设是函数的导函数， 的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）

A． B．
C． D．
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[来源:Zxxk.Com]
7．设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知函数．则下面结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在上为增函数
C．若，则 D．若，则
9．已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知函数，对于，且当时，恒有，则实数a的取值范围为__________.
12．已知函数在上不是单调函数，则的取值范围是________．
13．函数（），且，则实数的取值范围是____________.
四、解答题
14．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)求的单调区间；
(2)当时若方程存在两个不同的根，求证:
15．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，对任意的，都有，求实数的取值范围.
16．己知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间.
17．已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图象是的图象的切线，求的最大值.
18．设，函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数单调区间.

考点练
考向一
1.【答案】C
【解析】根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1 2.【答案】A
【解析】令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.
3.【解析】（1）
．
当时，；当时，．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，
最小值为．而是周期为的周期函数，故．
（3）由于

，
所以．
考向二
1.答案　A
解析　由f′(x)＝－a>0，x>0，得0 ∴f (x)的单调递增区间为.
2.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）等价于.
设函数，则


.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.
所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.
故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
3.解　(1)f′(x)＝(x>0)．
又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)f′(x)＝(x>0)．
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上，f (x)的单调递增区间是(0,1)，
单调递减区间是(1，＋∞)．
考向三
1.【答案】A
【解析】，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.
2.答案　(0,1)
解析　∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，
∴f′(x)＝－x－3＋，
∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，
∴f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，
∴＝0在(t，t＋1)上有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，
故实数t的取值范围是(0,1)．
3.答案　(1)　(2)
解析　(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0(k>0)，并结合导函数的图象可知，必有－≥4，
解得k≤，故0 4.解　因为f (x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．
设G(x)＝－，x∈[1,4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
5.【解析】（1）．
依题意得，即，故．
（2）由（1）知，，令，解得或.
与的情况为：

因为，所以当时，只有大于1的零点.
因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知，
当时，只有两个零点和1.
当时，只有两个零点–1和.
当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.
拓展练
1．A【解析】当函数为增函数，则在上恒成立，
则，
因此，“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，故选：A。
2．A【解析】设，∵，∴在上是增函数，
又因为函数是奇函数，，所以，，
所以当时，，所以，当时，，，
又，所以在上是增函数，
∴，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】本题考查构造函数，由其导函数的正负得出得出所构造函数的单调性，以及考查对数运算，指数式比较大小，属于中档题.
3．C【解析】令，则问题转化为解不等式，
当时，，
当时，，
当时，即函数在上单调递增，
又，是奇函数， 故为偶函数，
（2），（2），且在上单调递减，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
使得 成立的的取值范围是，，，
故选．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
4．A【解析】已知函数，
所以，
因为在区间 [1， 2] 上是增函数，
所以在区间 [1， 2] 上恒成立，
所以在区间 [1， 2] 上恒成立，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．B【解析】令，，故单调递减.
，即，，.
因此，的取值范围是.
故选：B
6．D【解析】f(x)2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,
只需>0在(1,+∞)上有解即可.
由已知得,该函数开口向下,对称轴为,
故在(1,+∞)上递减,
所以=2a>0,解得a>0.
故选:D.
7．D【解析】令，则，
所以函数单调递增，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
又，所以，
所以，
对于A，当，时，，，此时，故A错误；
对于B，由指数函数的单调性可得，故B错误；
对于C，当，时，，，此时，故C错误；
对于D，令，则，所以函数单调递增，所以即，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与构造新函数的能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.
8．ABD【解析】
选项A. 设，，则，
则函数为奇函数.所以的图象关于原点成中心对称.
所以的图象关于成中心对称，故A正确.
选项B. 由，则，
所以函数在上是增函数，故B正确.
选项C. ，则，函数不是奇函数，故C不正确.
选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,
由方程，则，即，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查函数的对称性和单调性的应用，应用对称性解方程，属于中档题.
9．AC【解析】设，
所以，
因为，
所以，
所以在R上是减函数，
所以，，，
即，，，
故选：AC
【点睛】本题主要考查函数与函数的单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．【解析】设函数，，
在单调递增.
依题意，的定义域为，所以，
，
，
故，.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.
11．【解析】函数的导函数,，若,,为增函数;若,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,,计算得出,故无解;当时,,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.
12．【解析】（1）x≤0时，f′（x）=ex﹣x﹣1，易知f′（0）=0，而f″（x）=ex﹣1＜0，
所以f′（x）在（﹣∞，0]上递减，故f′（x）≥f′（0）=0，故f（x）在（﹣∞，0]上递增，
且f（x）≤f（0），当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞.
（2）x＞0时，，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；
故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，
故x＞0时，；x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→0.
由题意，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：

如图所示，当直线y=m在图示①，②位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.
13．（1），函数的递增区间为，递减区间为；（2）.
【解析】（1），定义域为，，
由题知，解得，
则，得或（舍），
令，即且，得；
令，即且，得.
所以，函数的递增区间为，递减区间为；
（2）当时，对恒成立，
即，即对恒成立，
令，则，，
，令，得.
令，得；令，得.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.
14．（1）（2）单调增区间为，减区间为，最小值为.
【解析】（1）因为，
由即，得，
则的解析式为，即有，
所以所求切线方程为.
（2）∵，∴，
由，得或，
由，得，∵，
∴的单调增区间为，减区间为，
∵，∴的最小值为.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，函数，
，
令，解得或（舍）.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）若恒成立，则恒成立，即恒成立，
令函数，则，
令函数，
则显然在上恒成立，
所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，即；
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又恒成立，所以，
即实数a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，同时了不等式的恒成立问题，属于中档题.
16．（1）（2）
【解析】（1）因为
所以，
令，得，∴函数的单调递增区间为
（2）由（1）知，函数在递减，在递增，
∴时，；，，
∵函数有两个零点，∴，又，
∴，
即
所以
所以
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．


模拟练
1．C【解析】设，则，所以为减函数，
又，
所以根据单调性可知，即的解集是.
故选：C
【点睛】本小题主要考查利用导数求解抽象函数不等式，属于基础题.
2．D【解析】因为，所以为增函数，
因为，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查比较大小，判断函数的单调性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
3．C【解析】由题意得，
则在和上单调递增，在单调递减，即
，
因此函数有两个零点，故选C.
4．C【解析】从的图象可以看出当， ， 在上为增函数；当时，
， 在上为减函数；当时， ， 在上为增函数，符合的图象是C.
故选：C.
【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.
5．A【解析】由题意可得：，
函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
二次函数开口向下，对称轴为，则函数在区间上单调递减，
当时，，则该函数区间上的值域为，
综上可知：实数的取值范围是.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．A【解析】∵函数为增函数，
∴，化为，
令，则，
当时，，当时，，
可得时，函数取得极大值即最大值，，
∴.
∴a的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7．D【解析】设，则.
当时，，
当时，，故，所以，函数在上单调递减；
当时，，故，所以，函数在上单调递增.
所以，所以，函数没有零点，
故也没有零点.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．BCD【解析】对于A选项，函数的定义域为，
，则函数为偶函数，A选项错误；
对于B选项，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，B选项正确；
对于C选项，当时，由基本不等式可得，
由于函数在上为增函数，此时，
由于函数为奇函数，当时，，.
综上所述，当时，，C选项正确；
对于D选项，由于函数为偶函数，由得，
由于函数在上为增函数，则，解得，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
9．CD【解析】设，则，
因为()时，，
所以()时，，
因此在()上单调递减，所以，，
即，.
故选：CD.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数比较大小，有一定难度.解题关键是构造合适的函数，一般从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换进行构造；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
10．ACD【解析】设，，则在上恒成立，故函数单调递增，
故，即，A正确；
设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误；
设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确；
设，，则在上恒成立，故函数单调递增，
故，即，故，D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.
11．【解析】由，，可知，则函数在上单调递减.，∴.
∵，∴，∴实数a的取值范围为.[来源:学科网ZXXK]
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
12．【解析】因为，则，
若函数在上是单调递增的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；
若函数在上是单调递减的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；
因为函数在上不是单调函数，
所以.
故答案为
13．【解析】根据题意，f（x）=sinx﹣2x，其导数f′（x）=cosx﹣2，
又由cosx≤1，则必有f′（x）=cosx﹣2＜0，
即函数f（x）在R上为减函数且为奇函数
若，则f（2a）＜f（a﹣1），必有2a＞a﹣1，
解可得a＞﹣1，即a的取值范围（﹣1，+∞）；
故答案为（﹣1，+∞）
【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性以及函数单调性的应用，关键是利用导数判断出函数的单调性．
14．【解析】（1），，，
当时，则，所以，函数的单调递增区间为；
当时，由，得；由，得．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：令，，
则，
令，得；由，得；由，得．
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当，．
不妨设，则，，且．
先证明．
构造函数，
其中，则，
因为，则，，

，
所以，函数在上单调递减，
，所以，，即，
因为，所以，，
，，且在上单调递增，
所以，，即．
再证：．
因为，所以，，且，
所以，
，所以，，即．
所以，，所以，．
综上所述，；
解法二：（1）同解法一；
（2）证明：令，，
则，
令，得；由，得；由，得．
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当，．
不妨设，则，，且．
由，得，
由得：，
因为，所以，，
，所以，，即，
，，
由得，，
下面证明：，即证，
构造函数，，
则，所以，函数在上单调递减，
当时，，即，所以，．
所以．
因为，，，
所以，，即，
因为，所以，即，
所以，．
综上所述，．
15．（1）当时，的单调减区间为，无增区间；当时，的单调增区间为，减区间为（2）
【解析】（1）定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，由解得，由解得，
即在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，减区间为
（2），即，
令，则可知函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，只需，而函数在单调递增，
所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.
16．（1）；（2），.
【解析】（1）由题意得：，
，又，
在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.
17．（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）0
【解析】（1）因为，
，
由，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）设切点为，
，
所以，依题意可得，
所以，
，
则，
令，
，
∴当时，；当时，，
即函数在为增函数，在为减函数，
∴当时，有最大值，
故的最大值为0.
【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了运算能力，属基础题.
18．（1）；（2）当，单调递增区间为；当，单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】因为，所以函数的定义域为
.
（1）当时，则切线方程为，即；
（2）若，则，是在区间上的增函数，
若，令得：.
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.