初中数学人教版 (五四制)九年级下册34.1 锐角三角函数同步达标检测题

锐角三角函数

一、单选题

1．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．在直角中，已知，，求（　　）

A． B． C． D．

3．如图，中，，，则（　　）

A． B． C． D．

4．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（　　）

A．6 B． C． D．

5．在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（　　）．

A．       B．       C．     D．

6．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，连接OE，若AB＝10，AC＝12，则tan∠AOE的值为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在⊙O中，弦的长是，弦的弦心距为6cm，是⊙O优弧上一点．则的度数为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．80°

8．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　）

A． B． C． D．2

9．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值（　　）

A． B． C． D．

10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则为（　　）

A． B． C． D．

11．如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．-6 D．-12

12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F，若，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若，则锐角α为______度．

14．如图，4×4的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan∠AEC的值是 ___．

15．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（2，0），B（0，6），则sin∠COA＝__．

16．如图，在菱形ABCD中，于点E，与BD交于点F，若，则和的面积比为______．

17．如图，OA、OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝，则⊙O的直径长为_____．

三、解答题

18．计算：

(1)；

(2)．

19．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．

(1)求BD的长；

(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．

20．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD＝CE．

(1)求证：DC与⊙O相切．

(2)若AB＝10，tan∠BDC＝，求CE的长．

21．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C.

(1)求证：DB平分∠PDC；

(2)若DC＝6，tan∠P＝，求BC的长．

22．如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)如图2，若BD平分，求的值；

(3)如图1，若，，求y与x的函数关系式．

参考答案：

1．B

解：，，

， 故选项A错误；

，故选项B正确；

， 故选项C错误；

， 故选项D错误；

故选：B．

2．C

解：如图，在RtABC中，

∵，

∴设a=k，c=3k，

由勾股定理得：

∴．

故选：C．

3．D

解：∵，

∴．

∴．

故选：D．

4．B

解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，

∵△BCD是等腰三角形，

∴BD＝DC，

∴AD垂直平分BC，

∴BO＝CO＝4，

∵AN＝CN，

∴ON＝AB＝4，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴OD＝AO，

∴tan∠ABO＝，即，

∴，

∴OD＝，

在Rt△BOD中，

，

故选：B.

5．C

解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1，

∴AB==2，AC==，

∴sinα=cosα=，故选项A正确；

tanC==2，故选项B正确；

tanα=1，故选项D正确；

∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故选项C错误．

故选：C．

6．D

解：如图，连接OD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝CD＝AB＝10．

∵O是AC的中点，

∴OD⊥AC，OA＝OCAC＝6，

由勾股定理得，OD，

∵O、E分别是AC、AD的中点，

∴OE是△ACD的中位线，

∴OE∥CD，

∴∠AOE＝∠ACD，

∴tan∠AOE＝tan∠ACD，

故选：D．

7．A

解：∵弦的长是，弦的弦心距OC为6cm，

∴OC⊥AB，AC=CB=AB=6（cm），OC=6cm，∠AOC=∠BOC，

，

∴∠AOC=∠BOC=60°，即∠AOB=120°，

∴∠AEB=∠AOB =60°，

故选：A．

8．C

解：延长AD、BC，两线交于O，

在Rt△ABO中，∠B=90°，tanA==，AB=3，

∴OB=4，

∵BC=2，

∴OC=OB-BC=4-2=2，

在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=3，OB=4，

由勾股定理得：AO=5，

∵∠ADC=90°，

∴∠ODC=90°=∠B，

∵∠O=∠O，

∴△ODC∽△OBA，

∴，

∴，

解得：DC=，

故选：C．

9．D

解：∵EH∥CD，

∴△AEH∽△ACD．

∴，

∵AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，

∴＝．

设EH＝4x，则AH＝5x，

∴HG＝GF＝4x．

∵EF∥AD，

∴∠AFE＝∠FAG，

∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝＝．

故选：D．

10．D

解：

解：如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接CD，

∵，

∴是的直径，在中，，，

∴，

∴，

由圆周角定理可知，，

∴，

故选：D．

11．D

解：连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，

∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，

∴点A、点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵CA=CB，

∴OC⊥AB，

在Rt△AOC中，tan∠CAO==2，

∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°，

∴∠COM=∠OAN，

∴Rt△OCM∽Rt△AON，

∴4，

而S△OAN=×|3|=，

∴S△CMO=6，

∵|k|=6，

而k＜0，

∴k=-12．

故选：D．

12．D

解：连接AF．

由作图可知，MN垂直平分线段AC，

∴FA＝FC，

∵BF：FC＝3：5，

∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，

∵∠B＝90°，

∴AB，

∴BC＝BF+CF＝8k，

∴tan∠ACB，

故选：D．

13．60

解：∵α为锐角，且cosα=0.5，

∴角α的度数为60°．

故答案为：60．

14．3

解：连接DB，连接格点D、F交AB于F，如图，

由网格图可知，DB＝DC，DB⊥DC，∠AEC＝∠BED，

∵DFAC，

∴，

∴，

∴tan∠AEC＝tan∠BED＝3．

故答案为：3．

15．##

解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，

∵A（2，0），B（0，6），

∴OA＝2，OB＝6，

在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵∠ABO+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ABO＝∠BCE，

在△ABO和△BCE中，

，

∴△ABO≌△BCE（AAS），

∴OA＝BE＝2，CE＝OB＝6，

∴OE＝OB+BE＝6+2＝8，

在Rt△OCE中，，

∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴CE∥x轴，

∴∠OCE＝∠COA，

∴sin∠COA＝sin∠OCE．

故答案为：．

16．

解：于，

，

，

可以假设，，则，

四边形是菱形，

，，

，

，

．

故答案为：．

17．

解：延长AO交⊙O于点D，连接CD，

∵BA与⊙O相切，

∴DA⊥AB，

∴∠DAC+∠BAC＝90°，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠DAC+∠D＝90°，

∴∠D＝∠BAC，

∵tan∠BAC＝，

∴tanD＝，即＝，

∵AC＝4，

∴CD＝12，

由勾股定理得，AD＝＝＝．

故答案为：．

18．(1)     (2)

解：(1)

(2)

19．(1)   (2)

解：(1)过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：

∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，

∴AB＝＝＝2，

∵AB•AC＝BC•AH，

∴AH＝＝＝，

∴BH＝＝＝，

∵AH⊥BD，

∴BH＝HD＝，

∴BD＝；

(2)过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：

由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，

∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，

∵AH•CD＝DM•AC，

∴DM＝＝＝，

在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，

∴cos∠DAC＝＝＝．

20．(1)见解析  (2)

(1)

证明：连接OD，

∵CE⊥AC，

∴∠ACE＝90°，

∴∠A+∠E＝90°，

∵CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

∴∠A+∠CDE＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∴∠ADO+∠CDE＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥DC，

∴DC与⊙O相切；

(2)

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°，

又∵∠BDC+∠ODB＝90°，

∴∠BDC＝∠A，

∵∠BCD＝∠ACD，

∴△BCD∽△DCA，

∴，

∵tan∠BDC＝tan∠A＝，

设CB＝x，则CD＝2x，

∴CD2＝CB•CA，

∴，

∴x＝，

∴CD＝CE＝．

21．(1)见解析  (2)3

证明：(1)如图，连接OD，

∵PD是切线，

∴OD⊥PD，

∴∠ODP=90°，

∴∠ODB+∠PDB=90°.

∵CD⊥BC，

∴∠CDB+∠DBC=90°.

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠CDB=∠PDB，

∴DB平分∠PDC.

(2)作BE⊥PD，如图.

∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，

∴BC=BE.

在Rt△PDC中，，

∴PC=8，

∴.

设BC=x，则BE=x，PB=8-x.

∵∠EPB=∠CPD，

∴，

∴，

即，

解得x=3.

所以BC的长为3.

22．(1)见解析  (2)   (3)

解：(1)如图1，∵，

∴，

∵四边形ABCD内接于，

∴，

∵，

∴，；

(2)如图2，作于F，

设，

∵AC为直径，

∴，，，

由（1）得，

∵，∴，，

∵，

∴；

(3)如图1，过B作于F，

设，，由（1）知

∵，

∴，

，，

∵，

∴，

，，，

∵，

∴，

即，即，

∵，

∴