4.5.1 函数与方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数与方程
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点

两个不相等的实根
两个零点

两个相等的实根
一个二重零点

无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：
①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有；
③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；
⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．
①； ②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．

要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1. 求下列函数的零点.
(1) ；
(2)；
（3）．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2．
【解析】(1) 由，令，得，故函数零点是-3，1；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；
(3)令，即，
即，得，故函数的零点是-2，0，2．

举一反三：
【变式1】已知函数，当时，函数的零点,则 ．
【答案】2
【解析】，作及的图象，作及的图象
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
类型二、函数零点的存在性定理
例2．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D．（e，+∞）
【答案】 B【解析】 从已知的区间（a，b）中，求和，判断是否有．
∵，，∴在（1，2）内无零点，A错；
又，∴，∴在（2，3）内有一个零点．
举一反三：
【变式1】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
【变式2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 ．

-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
【答案】
【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.63<0，f(0)=1-2=-1<0，f(1)=2.72-3=-0.28<0，f(2)=7,39-4=3.39>0，f(3)=20.09-5=15.09>0，由于，所以根所在的最小区间为（1，2）．
【变式3】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
类型三、利用函数图象求函数的零点个数
例3．已知函数，－1是函数F（x）=f（x）+2的一个零点，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立，求实数a，b的值．
【解析】由已知条件知，F（－1）=0；∴lgb－lga+1=0；
又f（x）≥2x恒成立，有恒成立；
∴；由将 lgb－lga+1=0得，lga=lgb+1；
∴；∴；
故lgb=1，即b=10，则a=100．

举一反三：
【变式1】关于x的方程(x2―1)2―|x2―1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A【解析】 据题意令|x2－1|=t（t＞0） ①，
则原方程化为 t2―t+k=0 ②，作出函数y=|x2―1|的图象如图，结合函数的图象可知：
当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的实根；当0＜t＜1时，方程①有4个不等的实根；
当t=1时，方程①有3个不等的实根．
（1）当时，方程t2―t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程存在8个不等实根；
（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；
（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；
（4）当k＜0时，一元二次方程t2―t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2―t+k=0的正根t＞1，故原方程只有2个不等的实根；
（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．
类型四、一元二次方程根的分布
例4．已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）―f（x）=2x―1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）―mx的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由f（0）=2，即c=2，又f（x+1）―f（x）=2x―1，得2ax+a+b=2x―1，
故，解得：a=1，b=―2，所以．
（2），对称轴为x=1∈[―1，2]，
又f（―1）=5，f（2）=2，所以=f（―1）=5．
关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]有解，则t＜=5，
所以实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3），若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，
则满足解得：，所以实数m的取值范围为．

例5．若二次函数y=―x2+mx―1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【解析】 线段AB的方程为x+y=3（0≤x≤3），
由题意得方程组有两组实解．
①代入②得x2－(m+1)x+4=0（0≤x≤3）有两个实根，
令．因此问题转化为二次函数在x∈[0，3]上有两个不同的实根，故有：，解得．故m的取值范围是
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．
综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．
又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图，所以必须满足：
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型五、用二分法求函数的零点的近似值
例6.根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【答案】C【解析】令，则f（－1）≈0.37+1－2＜0，f（0）=1－0－2=－1＜0，
f（1）≈2.72－1－2＜0，f（2）≈7.39－2－2＞0，f（3）≈20.09－3－2＞0．故f（1）f（2）＜0，
类型六：函数的零点综合问题
例7．若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围．


【解析】
（1），解得，如图1
（2），解得，如图2
（3），解得，如图3
（4）或，解得，如图4或5
综上所述的取值范围是．




举一反三：
【变式1】试讨论函数的零点个数．
【解析】由得，
令
的图象如图所示，
．
当即时，与无公共点．
当或，即或时，与有两个交点．
当即时，与有四个交点．
当，即时，与有三个交点．
所以，当时，函数无零点．
当或时，函数有两个零点．
当时，函数有四个零点．
当时，函数有三个零点．



【巩固练习】
1．已知函数仅有唯一个正零点，则此零点所在的区间是（ ）
A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
1．【答案】C　【解析】由题意，可知f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0．

2．有两个互为相反数的零点的函数(　B　)
A．只能是偶函数　　B．可以是奇函数　　C．可以是增函数　　D．可以是减函数

3．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，2） B．（－2，2] C．（－∞，－2）∪[2，∞） D．（∞，2]
3．【答案】B【解析】不等式，可化为，
当a－2=0，即a=2时，恒成立．当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得－2＜a＜2．
所以a的取值范围为（－2，2]．

4．设函数是[-1，1]上的增函数，且，
则方程在[-1，1]内(　　)
A．可能有3个实数根　　B．可能有2个实数根　　C．有唯一的实数根　　D．没有实数根
4．【答案】C　【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根，在[-1，1] 上有唯一实根．故选C．

5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ D ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1．5）=0．625
f（1．25）=－0．984
f（1．375）=－0．260
f（1．4375）=0．162
f（1．40625）=－0．054



那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（ C ）
A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5


7．如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　B　)

8．设是方程的两个根，则的最大值等于（ ）
A．19　　B．18　　C．17　　D．16
8．【答案】B 【解析】由是方程的两个根，
，解得
，
当时，取得最大值18．

9．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．
9．【答案】[1，+∞）【解析】当x＜1时，令ln（x―1）=0解得x=0，
故f（x）在（―∞，1）上有1个零点，∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．
当x≥1时，令得．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．

10．若方程在（1,2）内有实数解，则实数的取值范围是 ．
10．【答案】（2,10）【解析】设函数．易证明是上的增函数，
依题意，得所以．

11．关于的方程的根分别为，则的值为 ．
11．【答案】3 在同一直角坐标系中画出的图象，观察可得．


12．已知函数，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）设h(x)=(2x－3)f (x)，若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（Ⅱ）求函数y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．
12．【解析】（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，
即a2－4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，
代入得，
解得，检验满足Δ＞0；
综上所述，a的了取值集合为．
（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，
函数y=｜f（x）｜在[0，1]上单调递增，
故；
（2）若，即－2＜a＜0时，
此时，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故，
（3）若，即a≤－2时，
此时f（1）=2+a≤0，，
综上所述，

13．设二次函数满足f（－1）=0，对于任意的实数x都有f（x）－x≥0，
并且当x∈（0，2）时，．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）当x∈（－1，1）时，函数g（x）=f（x）－mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．

13．【解析】（1）∵二次函数满足,∴a+c=b，
函数．∵当x∈（0，2）时，，∴f（1）≤1．
又对于任意的实数x都有f（x）－x≥0，∴f（1）－1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2） （3）