专题01 平面向量的概念及线性运算（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题01 平面向量的概念及线性运算

一、考情分析

二、考情分析

知识点1　平面向量的线性运算

知识点2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用

1．向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．

三、题型分析

(一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）

例1．（多选题）下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

【变式训练1】（2020·河南高二月考）关于位移向量说法正确的是(     )

A．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量

B．两个相等的向量的起点可以不同

C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量

D．的长度是数轴上两点到原点距离之差

【答案】B

【解析】A，因为一个点不能构成位移向量，位移向量需要有起点和终点，故错误.B，两个相等的向量起点可以不同，故正确.C.实数只对应一个点，构不成位移向量，故错误.D，的长度是数轴两点之间的距离，故错误.

【变式训练2】（2019·浙江高二月考）下列说法正确的个数是（     ）

①两个有公共终点的向量是平行向量；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；

③向量与不共线，则与都是非零向量；

④若，，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确.

故选：B

【变式训练3】（2019·成都高一期末）下列说法正确的是（     ）

A．与向量共线的单位向量只有

B．向量与平行，则与的方向相同或相反

C．向量与向量是两平行向量

D．单位向量都相等

【答案】C

【解析】与向量共线的单位向量有，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量与方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.

故选：C

(二) 平行向量与共线向量

例2．（2020·浙江高一月考）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设，，则＝________．(用，表示)

【答案】＋

【解析】

【变式训练1】．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________．

【答案】-4.

【解析】因为与平行，所以所以，解得：

【变式训练2】．已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示)

【答案】

【解析】

因为,三点共线,所以存在实数m使得;
又三点共线, 所以存在实数n使得,

解得，所以，

故填：.:

【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

【答案】　

【解析】　如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，

则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.

∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＋·＋·＋·＋·＋·

＝4－1－2－λ＋λ＋λ·

＝＋＋≥＋2＝，

当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.

例3．（2020·北京高考模拟）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.

（1）若是的中点，求的值；

（2）若、、三点共线，求证：.

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】（1）由题意,,

又,故,即.

（2）、、三点共线，设,

则,

又,故,即.

【变式训练1】．已知，不共线，若，试确定的值．

【答案】

【解析】

∵不共线；

∴；

又；

∴存在实数，使；

即，解得.

【变式训练2】．已知、是两个不平行的向量，，，，试判断、、的位置关系，并证明你的结论.

【答案】、、三点在一条直线上.

【解析】

由已知得，又因为，

所以，所以又，所以、、三点在一条直线上.

故得解.

得解得所以.

(三) 向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）

例4．（1）（多选题）设P是所在平面内的一点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

由题意：

故

即

,

故选：CD

（2）.（2019·湖北高三月考（文））在中，是的中点，则(  )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

在中，为边上的中线，为的中点，

所以

，

故选D.

【变式训练1】．（2020·广东高三学业考试）如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误.

故选D

【变式训练2】．已知分别是的边的中点，且 给出下列等式：

①②③④

其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）

【答案】①②④

【解析】由题意，如图所示，

因为，且

①中，，所以是正确的；

②中，由三角形法则，可得，所以是正确的；

③中，因为是边的中点，则，所以不正确；

④中，由三角形法则，可得，所以是正确的，

综上可知，正确命题的序号为①②④.

(四) 向量的数乘与几何意义

例5．（2019·贵州凯里一中高二期中）已知是正方形的中心，则________.

【答案】

【解析】

由正方形的性质和向量的加法法则和减法法则得：

故填：.

【变式训练1】．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图，D为的中点，.

故选C.

【变式训练2】．（2020·上海中学高二期中）已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示) （6分）

【答案】

【解析】

因为,三点共线,所以存在实数m使得;
又三点共线, 所以存在实数n使得,

解得，所以，

故填：.:

【变式训练3】．（2020·河南高考模拟（文））在矩形中，，，则__________.（6分）

【答案】

【解析】

在矩形中.，|.

故答案为：.