高一（下）期末测试卷（B卷 能力提升）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三其他模拟）若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2B．2C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数为纯虚数，则实部为零，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解： ，因为复数（是虚数单位）为纯虚数，所以，解得
故选：D
2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题首先可根据求出，然后根据求出，最后根据即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因为，，
所以，即，，
则，
故选：D.
3．（2021·全国高一专题练习）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用正弦定理可得，结合已知条件有、，即可求的高度.
【详解】
由题意，，，即，
∴△中，，则，而，
∵在△中，米.
故选：C
4．（2021·贵州高三期末（文））如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积.
【详解】
细沙在上部容器时的体积，
流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为，
则，
所以，
下部圆锥形沙堆的母线长，
故此沙堆的侧面积．
故选：D.
5．（2021·浙江金华市·高三三模）若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，如图，即可求出体积.
【详解】
根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示，
此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，
则此多面体的体积是.
故选：D.
6．（2021·山西吕梁市·高三三模（文））四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》.五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部.某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由古典概型公式求解即可.
【详解】
5种课程有3门为四书，2门为五经，从5种课程中选2种有10种选法，则所求概率为
7．（2021·全国高二专题练习（文））早在世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，世纪年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量､快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，(其中是产生内的均匀随机数的函数，)，则的值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据，，而表示个圆，则，故，即求.
【详解】
根据程序框图，知，，
而表示个圆，如图所示：
则落在阴影部分的面积与正方形面积比为，得.
故选：D.
8．（2021·重庆市綦江中学高三月考）“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
任选两袋投对的组合种，其它4个元素，再求出6袋任意投的总方法数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】
根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，
任意两袋种组合投对时，其他个元素全错位，
∴概率为.
故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·浙江高三期末）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据正八边形性质，向量的共线，加法法则判断AC，计算出向量的数量积和模判断BD．
【详解】
由正八边形性质知，A正确，而与同向，不可能等于，C错；
，B正确；
．D正确．
故选：ABD．
10．（2021·江苏高一专题练习）已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
计算ω2可判断A；计算ω3可判断B；计算ω2+ω+1可判断C；根据虚数不能比较大小可判断D.
【详解】
∵，
∴ω2，故A正确，
ω3＝ω2ω＝＝1，故B错误，
ω2+ω+11＝0，故C正确；
虚数不能比较大小，故D错误.
故选：AC．
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．难度中等．
11．（2021·浙江高二期末）下列关于空间中两直线a，b和平面位置关系的叙述中错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】
逐一进行判断，对A要考虑与平面的关系；对B，由，可知结果；对C要考虑b和平面的关系；对D，直观想象即可得到结果.
【详解】
对A，若在平面内则不符合，故错误；
对B，由，，可知与不垂直，故错误；
对C，若在平面内则不符合，故错误；
对D，由，，故，正确；
故选：ABC
12．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（ ）
A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%
B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减
C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆
D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆
【答案】ABC
【分析】
A．根据年载货汽车产量进行计算并判断；
B．同比增速大于说明是“增”，小于说明是“减”，据此进行判断；
C．根据载货汽车产量的最大值与最小值的差进行判断；
D．先将数据从小到大排列，然后求出中位数并进行判断.
【详解】
2020年的同比增速为，故A正确；
由折线图可知，这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，故B正确；
由图可知，极差为(万辆)(万辆)，故C正确；
将这10年载货汽车产量由小到大排列得：，
故中位数为(万辆)，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·全国高三其他模拟）全国政协委员唐江澎说过：好的教育应该是培养终身运动者、责任担当者、问题解决者和优雅生活者．终身运动者，即要有敬畏生命、珍爱生命的态度，养成终身运动的习惯和健康的生活方式．某中学积极响应此项号召，大力倡导学生进行体育锻炼，为了解高三学生体育锻炼的情况，对该校高三学生的每日运动时间进行了调查，并根据调查结果制成如图所示的频率分布直方图，则该校高三学生每日运动时间的中位数约是______．
【答案】35
【分析】
根据频率分布直方图计算频率可判断中位数在，列出式子即可求解.
【详解】
根据频率分布直方图可得运动时间在的频率为，
运动时间在的频率为，
则可得中位数在内，设为，
则，解得.
故答案为：35.
14．（2021·全国高三其他模拟（理））厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替交替之势，为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时，C与D不同时参加”发生的概率为______________
【答案】
【分析】
先由题中条件，确定总的基本事件个数，再求出A，B，C，D这4人中至少参加一人所对应的基本事件个数，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】
从9名协会会员中随机挑选3人参赛，所包含的总的基本事件共有个；
若A，B，C，D这4人中只参加一人，则需从剩下的名会员中再选人，所以对应的基本事件有个；
若A，B，C，D这4人中参加两人，则需从剩下的名会员中再选人，所以对应的基本事件有个；
因此事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时，C与D不同时参加”发生的概率为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：
求古典概型的概率的常用方法：
（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.
15．（2020·绥化市第一中学高二月考（理））绥化一中早上7：30上课，假设学生小付与小马在早上7：00—7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小付比小马至少早5分钟到校的概率为_________．（用数字作答）
【答案】
【分析】
画出图象，利用面积比来求得所求概率.
【详解】
设小付到校时刻为，小马到校时刻为，则，
画出图象如下图所示，故所求概率为
故答案为：
16．（2021·上海交大附中高三其他模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为.直径为4的球的体积为，则__________.
【答案】
【分析】
根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，即可求得体积，得出所求.
【详解】
根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示，
则，
又，则.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））设向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）设函数，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）条件是，由向量模的坐标运算可得的方程，可解得；
（2）首先由向量积的定义求得的表达式，并利用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式，再由正弦函数的性质可求得的最大值．
【详解】
（1）由，
，
根据，得
又，从而，所以
．
（2），
∵,
∴,
∴当，即时，，
∴的最大值为.
【点睛】
根据正弦函数值求解角度时，一定要规定角度的范围，往往多解或少解；求三角函数的性质时，一定要将其函数化为一个三角函数形式.
18．（2021·浙江高一期末）已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）设，由已知列关于，的方程组求解；
（2）把（1）中求得的代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）设，则，
为实数，，即．
为实数，
，则；
所以，
（2）由（1）得，
依题意得，解得．
实数的取值范围是．
19．（2021·河南高三月考（文））如图，四棱台的上､下底面均为菱形，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱台的体积.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）.
【分析】
（1）过作，垂足为，连接，根据题意，结合菱形的性质、勾股定理的逆定理、余弦定理、直二面角的定义进行证明即可；
（2）连接交于点，连接，根据棱台的性质、菱形的性质，结合余弦定理、棱台的体积公式、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
（1）过作，垂足为，连接，因为，，
所以，
因为四边形是菱形，所以，
因为，所以由余弦定理可知：
，
在菱形中，，所以，
因为，所以，因此是二面角的平面角，
因为，所以，即，因此平面平面；
（2）连接交于点，连接，
因为，所以有且，因此四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平面，
因此是棱台的高，设，,
则有，,
由余弦定理可知：，
即，
所以四棱台的体积为：
20．（2021·四川德阳市·高三三模（文））如图，在多面体中，为菱形，，平面､平面，为的中点.若平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接､，由线面平行的性质可得，再通过证明，即可得解；
（2）根据条件得，进而由即可得解.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接､
又为的中点
∴.
∵平面，平面
∴，∴.
∵平面平面
平面，∴.
连接，在正三角形中，，
又
∴，
又∵
∴平面.
（2）解：由（1）知，
∴四边形为平行四边形
∴.
依题意可得四棱锥与的体积相等，则多面体的体积
.
21．（2021·浙江高一期末）现有某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在内的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2）众数度，中位数度；（3）.
【分析】
（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；
（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）由频率分布直方图可知：对应的频数最大，所以众数为度；
因为前三组频率之和为，
第四组频率为，且，
所以中位数在第四组数据中，设中位数为度，
所以；
（3）因为的频率之比为
，
所以月平均用电量在内的用户中应抽取：户，
答：月平均用电量在内的用户中应抽取户.
22．（2021·全国高三其他模拟（文））“中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解､关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围.2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展.某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一､高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一､高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀.
（1）根据频数分布表完成列联表，并回答是否有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关？
（2）按分层抽样的方法，在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学，再在这6名同学中随机抽取4名同学组成“2020科技展”宣讲队，求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关；（2）.
【分析】
（1）由题意补全列联表，代入，进一步得出结论；
（2）在6名同学中随机选4名，不同的情况有15种，根据至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选，不同的情况有3种，进一步求出答案.
【详解】
（1）由题意，列联表如下：
，
所以没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关；
（2）被调查且成绩优秀的学生有60名，分层抽样抽取6名同学，
则从高一､高二年级抽取了3名同学，记为：，，，
从高三年级抽取了3名同学，记为，，，在6名同学中随机选4名，不同的情况有15种：
(以下均只列出两名没入选的情况)，，，，，，，，，，，，，，，
其中至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选，
不同的情况有3种：，，，
所以至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为.
【点睛】
做概率与统计题目时，我们往往通过对立事件来解决问题，这样降低了题目的难度，本题就是利用至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选来解决问题.
说出科学进展名称个数
0
1
2
3
4
5个及以上
频数(高一､高二年级)
5
25
30
30
25
5
频数(高三年级)
0
10
15
25
20
10
成绩不优秀
成绩优秀
合计
高一､高二年级
高三年级
合计
成绩不优秀
成绩优秀
合计
高一､高二年级
90
30
120
高三年级
50
30
80
合计
140
60
200