2020-2021学年2.2椭圆课后测评

这是一份2020-2021学年2.2椭圆课后测评，共4页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．4 D.eq \f(1,4)
2．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，则点M到y轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3) D.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2eq \r(3)，4＋2eq \r(3)] B．[4－eq \r(3)，4＋eq \r(3)]
C．[4－2eq \r(2)，4＋2eq \r(2)] D．[4－eq \r(2)，4＋eq \r(2)]
4.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进
入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：( )
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④eq \f(c1,a1)A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
5．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．8eq \r(2)
6．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为______________．
7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，求椭圆的方程．
二、能力提升
8．P是长轴在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )
A．1 B．a2 C．b2 D．c2
9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
10．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2 (a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在双曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq \f(1,2)a2.
其中，所有正确结论的序号是__________．
11. 如图，在直线l：x－y＋9＝0上任意取一点M，经过M点且以椭圆eq \f(x2,12)
＋eq \f(y2,3)＝1的焦点作为焦点作椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？
12．点A是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)短轴上位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝9.
(1)若B(0,1)，求椭圆方程；
(2)若B(0，t)，求t的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，求直线AB的方程．
答案
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C
6．2eq \r(p＋rq＋r)
7．解 ∵椭圆的长轴长是6，cs∠OFA＝eq \f(2,3)，
∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3.∴eq \f(c,3)＝eq \f(2,3).
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
∴椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1.
8．D 9．C
10．②③
11．解 椭圆的两焦点分别为F1(－3,0)、F2(3,0)，作F1关于直线l的对称点F′1，则直线F1F′1的方程为x＋y＝－3，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝－3,x－y＝－9))，得P的坐标(－6,3)，
由中点坐标公式得F′1坐标(－9,6)，
所以直线F2F′1的方程为x＋2y＝3.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3,x－y＝－9))，得M点坐标(－5,4)．
由于|F′1F2|＝eq \r(180)＝2a＝6eq \r(5).
所以M点的坐标为(－5,4)时，所作椭圆的长轴最短，最短长轴为6eq \r(5).
12．解 (1)由题意知B(0,1)，A(0，－b)，∠PAB＝45°.
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AP,\s\up6(→))|cs 45°＝(b＋1)2＝9，
得b＝2.∴P(3,1)，代入椭圆方程，得eq \f(9,a2)＋eq \f(1,4)＝1，
∴a2＝12，故所求椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)若B(0，t)，由A(0，－b)得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|t＋b|＝t＋b(B在A点上方)．将P(3，t)代入椭圆方程，得eq \f(9,a2)＋eq \f(t2,b2)＝1，
∴a2＝eq \f(9b2,b2－t2).∵a2>b2，∴eq \f(9b2,b2－t2)>b2.①
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝t＋b＝3，∴b＝3－t.
代入①式得eq \f(92,3－t2－t2)>1，解得013．解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,4)＝1(a>2)，
其离心率为eq \f(\r(3),2)，故eq \f(\r(a2－4),a)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入eq \f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以xeq \\al(2,A)＝eq \f(4,1＋4k2).
将y＝kx代入eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以xeq \\al(2,B)＝eq \f(16,4＋k2).
又由eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，得xeq \\al(2,B)＝4xeq \\al(2,A)，即eq \f(16,4＋k2)＝eq \f(16,1＋4k2)，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.