人教版新课标B1.3.3导数的实际应用教学设计

这是一份人教版新课标B1.3.3导数的实际应用教学设计，共11页。教案主要包含了温故知新，新知探究，复习总结和作业布置等内容，欢迎下载使用。

1. 教学目标
1、掌握函数最大值和最小值的概念；
2、理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件；
3、掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤；
4、通过解决某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用。
2. 教学重点/难点
教学重点：掌握求函数最值的方法和步骤
教学难点：理解连续函数在闭区间上必有最值的这一性质
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、温故知新、引入课题
【师】极大值的概念
【生】思考交流。
【板演/PPT】
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
【师】极小值的概念
【生】思考交流。
【板演/PPT】
一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
【师】极大值与极小值统称为极值应该注意哪几点？
【生】思考交流。
【板演/PPT】
极大值与极小值统称为极值注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，g是极大值点，d是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：复习，巩固已学知识，为学习新知识打好基础。
【设计意图】温故而知新，为本节课的学习作铺垫。
二、新知探究
1、函数的极值
【合作探究】
探究 函数的最值
函数的最大（小）值与导数
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，极值只是某个点的函数值比它附近点的函数值都大或都小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.
探究1函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？
【活动】学生分组合作、交流，从形的直观感知，形→数，体现数形结合。特殊→一般，感性认识→理性认识，归纳总结出一般结论。“问起于疑，疑源于思” 在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力。
设计意图】以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生运用数学解决实际问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情。
探究2 如图1.3-14，图1.3-15，观察区间(a,b)上的函数f(x)的图象，你能找出它的最大值与最小值吗？
根据函数图象很容易得到函数的最值，第一个函数，f(a)是最小值，f(b)是最大值；第二个函数，f(x4)是最小值，f(x3)是最大值.
【总结】
的最小值。
【思维拓展】
【设计意图】学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作；教师通过对已有相关知识的回顾和深入分析，引领学生来到新知识的生成场景中，归纳、总结、提炼求闭区间上连续可导函数最值的思路与方法。深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质。
【思考】函数的最值与函数的极值有什么关系？
【生】思考交流。
【板演/PPT】
师生共同总结
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
1.“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
2．从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
3．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
4．极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
最大值的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) =M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
最小值的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) =M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
2、例题讲解
例1．
求上的最大值与最小值
【活动】鼓励学生自主参与，教师协作完成，教师强调解题格式，书写规范。
下面分两种情况讨论：
【总结提升】
由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
（1）求f(x)在(a,b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在(a,b)上的最值
【设计意图】数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂，学以致用，提高学生分析和解决问题的能力。引例的解决则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，达到前呼后应的目的。
例2．
解析：利用导数等于零求出极值点，然后求出端点值，比较即可.
先求导数，得
从上表知，当x=时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4。
【总结提升】
1、函数的最值概念是全局性的
2、函数的最大值（最小值）唯一
3、函数的最值可在端点处取得
易考点拨
导数的极值常与函数的单调性、导数联合考查，是高考的常考内容，常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系，综合考查．解决时可以以大化小分步解决，严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤，遇到该讨论时要进行合理、恰当地讨论．
这种综合题在解决时要弄清思路，分步进行，切忌主次不分，讨论混乱．
三、复习总结和作业布置
1、课堂练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数f(x)=x³-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、
最小值分别是（ ）
A.1，－1 B. 1，-17
C. 3，-17 D. 9，-19
3.设函数
则 （ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
4. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2 , 2]上有最大值3，函数在[-2 , 2]上的最小值_____.
5. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____.
6.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
课堂小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
（1）求f(x)在(a,b)内的极值;
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
2.求函数最值的一般方法：
（1）是利用函数性质
（2）是利用不等式
（3）是利用导数
3.求函数的最值时,应注意以下几点:
（1）要正确区分极值与最值这两个概念.
（2）在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.
（3）一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.