2021届四川省成都市石室中学高三上学期一诊数学（理）试题（含解析）

2021届四川省成都市石室中学高三上学期一诊

数学（理）试题

一、单选题

1．复数满足，则（    ）

A． B． C．  D．2

【答案】C

【分析】先由条件有，求出复数，再求复数的模.

【详解】由，则

所以

故选：C

【点睛】本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.

2．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则

A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)

【答案】D

【详解】由得，由得，

故，选D.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

3．如图，正方形中，是的中点，若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，利用平面向量的坐标运算建立有关、的方程组，求出这两个量的值，可得出的值.

【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，

由此，，故，

解得.故选B.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

4．某商家统计了去年，两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中点表示产品2月份销售额约为20万元，点表示产品9月份销售额约为25万元.

根据图中信息，下面统计结论错误的是（    ）

A．产品的销售额极差较大 B．产品销售额的中位数较大

C．产品的销售额平均值较大 D．产品的销售额波动较小

【答案】B

【分析】由图示中P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，再根据极差、中位数、平均值的概念，可得选项.

【详解】据图求可以看出，P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，并且Q产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，

故选：B.

【点睛】本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题.

5．正项等差数列的前和为，已知，则（    ）

A．35 B．36 C．45 D．54

【答案】B

【分析】由，可得，即可求出，进而由，可求出答案.

【详解】由题意，可得，所以，解得或，

因为，所以舍去，只有符合题意，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.

6．将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】按照三视图成图原理，寻找各个点在对应面的投影，再把看不见的化为虚线，即可得到答案.

【详解】根据题意，得；点在平面上的投影是，

点在平面上的投影是，

棱在平面上的投影是，

在平面上的投影是，

在平面上的投影是，

是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示：

故选：B.

7．已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象变换与函数性质求出函数解析式，然后求出的表达式得最小值．

【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得函数解析式为，它的图象关于轴对称，则，，又，所以，

∴，周期为，

极大值点为，，与最接近的极大值点是，

∴的最小值是．

故选：A．

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数性质是解题关键．

8．已知二进制数化为十进制数为，若的展开式中，的系数为15，则实数的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先利用进制转化求出的值,再利用二项展开式的通项公式,结合题意列式求得的值.

【详解】根据进制转换法可得:,

所以,

设展开式的通项为,

令,∴,

∴的系数为,∴,∴,

故选:A.

【点睛】本题考查二项式,考查进制转换,需要学生对基础知识牢固掌握且灵活运用.

9．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（    ）

A．8 B．9 C．12 D．13

【答案】C

【分析】先求出，，再求出，接着求出并建立不等式，最后求解即可.

【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，

所以，则，

要使，则，解得，

故n的最大值为12.

故选：C.

【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.

10．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用棱锥的体积，求的长度，由，，利用余弦定理求，可得外接圆的半径，利用勾股定理可得球半径，即可求解.

【详解】因为，，

由可得

又

因为平面，该棱锥的体积为1，

所以，

设外接圆的半径为，则，，

所以球的半径

球的表面积，故选D.

【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题，余弦定理，球的表面积，三棱锥的体积，属于中档题.

11．已知抛物线，圆，若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义结合图象可得，换元后利用导数求最值即可.

【详解】如图，

设圆心为，则为抛物线的焦点，

该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义：

，要使最小，则需最大，

由图知最大时，经过圆心，且圆的半径为1，

∴，且，

∴，令，则，

∴，由，

而，

可得，取得最小值，

则的最小值为.

故选：B

12．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．

【详解】对于的大小：，，明显；

对于的大小：构造函数，则，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，

即

对于的大小：，，，

故选B．

【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．

二、填空题

13．设，满足约束条件，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，

直线在纵轴上的截距最大，有最小值，

在中，取，得，

当过时，有最大值.

因此的最大值为0，最小值为.

则的取值范围是.

故答案为：.

【答案】72

【分析】【详解】由题意．

故答案为：72．

【点睛】本题考查排列的综合应用．解题时确定分步完成本事件．插入法是解本题的关键．

15．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是的内切圆圆心，记，，的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是______.

【答案】

【分析】设三角形内切圆的半径为，利用三角形面积求得，然后构造齐次式求得离心率范围.

【详解】设三角形内切圆的半径为，

则，，，

∴，

∴，即，

∴，又，

∴.

故答案为：.

16．已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为______.

【答案】

【分析】变形得到，设，，讨论得到方程有唯一根或无解时不成立，有两解时，直线，与的交点恰有三个，计算得到答案.

【详解】令，变形得：，

令，得，，故，

当，，在上单调递增；

当，，在上单调递减，

且，故在时有最大值.

当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；

当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，

即转化为的两根，，

则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.

三、解答题

17．中，角的对边分别是，已知．

（1）求的大小；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再结合余弦定理可得，再求C即可；

（2）由正弦定理化边为角可得，再由辅助角公式可得

，再由利用三角函数值域的求法即可得解.

【详解】解：（1）中，角，，的对边分别是，，，.

由已知，得，

即，，

由，.

（2），，

，.

设的周长为，则

，，

故周长的最大值为.

【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.

18．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且与均为正三角形，G为的重心.

（1）求证：平面PDC；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF，由，，可得，由G为的重心，得，所以可得，从而由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）设O为AD的中点，为正三角形，则，结合已知条件可得平面ABCD，从而过O分别作BC，AB的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可

【详解】（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF.

∵，，，

∴.

又∵G为的重心G，

∴，

∴

∴.

又∵面PDC，面PDC，

∴平面PDC.

（2）设O为AD的中点，为正三角形，则.

∵平面平面ABCD，平面平面，

∴平面ABCD.

过O分别作BC，AB的平行线，建系如图.

∵，，，

易知平面PAD的法向量.

设平面PBC的法向量为，

∴，，

∴

得，，

从而，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.

19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．

（附：刻画回归效果的相关指数，）

（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．

（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）

（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．

（附：若随机变量，则，）

【答案】（1）见解析（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）2.27元

【分析】（1）由表格中的数据，，所以，

转化，利用相关指数的定义即得解；

（2）当时，由已知可得，可得，可得y与x满足的线性回归方程，代入计算即得结论；

（3）由，，所以，即得解.

【详解】解：（1）由表格中的数据，，所以，

所以．

可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．

所以回归模型②的拟合效果更好．

所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为

（亿元）．

（2）当时，由已知可得．

．

所以．

所以当时，y与x满足的线性回归方程为．

当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．

当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，

所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．

（3）因为，，所以

；

．

所以（元）．

【点睛】本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

20．如图，已知椭圆C：（）的上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作圆（圆在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点，

【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆，解出B，D坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率的关系，表示出直线BD的方程即可求得过定点.

【详解】解：（1）依题意可得：）

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：

，

可得；同理可得

由圆M与l相切得：

由韦达定理得：

所以直线BD的斜率……

直线BD的方程为：

化简为：，即

所以，当变化时，直线BD总过定点

【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解.

21．已知函数，为的导数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）求，令，求的正负判断的单调性，求出的最小值，即为的最小值. （2）令，即证当时，恒成立.由（1）可知，当时，成立，当时，分类讨论求的范围即可.

【详解】（1），

令，，

则.

当时，为增函数，

；

当时，.

故时，，为增函数，

故，

即的最小值为1.

（2）令，

，

则本题即证当时，

恒成立.

当时，若，

则由（1）可知，，

所以为增函数，

故恒成立，

即恒成立；

若，则，

在上为增函数，

又，，

故存在唯一，

使得.

当时，，为减函数；

时，，为增函数.

又，，

故存在唯一使得.

故时，，为增函数；

时，，为减函数.

又，，

所以时，，为增函数，

故，

即恒成立；

当时，由（1）可知在上为增函数，

且，，

故存在唯一，使得.

则当时，，为减函数，

所以，此时，

与恒成立矛盾.

综上所述，.

【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的最值问题以及恒成立问题，本题出现了多次求导的情况.掌握利用导数的正负反应原函数的增减以及零点存在性定理是解决本题的关键.

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和分别与曲线相交于、两点（、两点异于坐标原点）．

（1）求曲线的极坐标方程与、两点的极坐标；

（2）求直线的极坐标方程及的面积．

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，，．（2）的极坐标方程为，．

【分析】（1）曲线和参数方程消去参数能求出曲线的普通方程，从而能求出曲线的极坐标方程；将直线和代入圆的极坐标方程能求出、两点的极坐标．

（2）由，，得，，，，根据两点式方程得直线的方程为，由此能求出的极坐标方程及的面积．

【详解】解：（1）曲线和参数方程为，

消去参数得曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为．

将直线和代入圆的极坐标方程得，，

、两点的极坐标分别为，．

（2）由，，得，，，，

根据两点式方程得直线的方程为，

的极坐标方程为．

直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，，

．

23．已知函数．

（1）解不等式：．

（2）当时，函数的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）[,4)∪{-1}．

【分析】（1）分类讨论法，求绝对值不等式的解集.

（2）讨论：显然与x轴围成一个三角形；：写出的分段函数形式，结合函数图象列出可使图象与x轴围成一个三角形的条件，即可求m的范围.

【详解】（1）由题意知，，即，

当时，，得；

当时，，无解；

当时，，得；

综上，不等式的解集为．

（2）当时，此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；

当时，，则函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，图象如下图示，

∴要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形，则

解得．

综上所述，实数m的取值范围为[,4)∪{-1}．

【点睛】关键点点睛：

（1）分类讨论法求绝对值不等式的解集.

（2）讨论参数值，结合函数的图象判断要使题设条件成立的不等式组求参数范围.