2022届四川省成都市石室中学高三下学期“三诊模拟”数学（理）试题含解析

成都石室中学2021～2022学年度下期高2022届“三诊模拟”

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果复数为纯虚数，那么实数a的值为（    ）

A．   B．1   C．2   D．1或

2．根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则（    ）

A．，   B．，   C．，   D．，

3．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是（    ）

A．   B．   C．   D．

4．若点在两条平行直线与之间，则整数b的值为（    ）

A．   B．4   C．   D．5

5．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称.在，，，四点中，可能是函数与的图象的公共点的有（    ）

A．0个   B．1个   C．2个   D．3个

6．已知直线l和平面，满足，.在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（    ）

A．0   B．1   C．2   D．3

7．已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（    ）

A．   B．3   C．   D．

8．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，圆心为C，则过点A，B，C的圆的方程是（    ）

A．     B．

C．     D．

9．在中，，则的形状一定是（    ）

A．直角三角形   B．等腰三角形   C．等边三角形   D．等腰直角三角形 10．在中，，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（    ）

A．   B．   C．   D．

11．已知，且，则的最小值是（    ）

A．49   B．50   C．51   D．52

12．如图1，在中，，，D为AC中点．将沿BD折起，使得，如图2所示，则二面角的余弦值为（    ）

A．   B．   C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数x，y满足条件则的最大值为______.

14．在的展开式中，常数项为______.

15．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

16．若函数的图象关于直线对称，且直线与的图象有四个不同的公共点，则实数k的取值范围是______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且.

（Ⅰ）求，及数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求使得成立的最小正整数n的值.

18．（本小题满分12分）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.

ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；

ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001），以及Z的数学期望（结果精确到0.01）.

参考数据：，，，，.若，则，，.

19．（本小题满分12分）在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.

如图，在五面体ABCDE中，已知______，，，且，.

（Ⅰ）求证：平面平面ABC；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F，使得平面AEF与平面ABE的夹角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）求证：曲线与曲线有且只有一个公共点，且这个公共点的横坐标在区间内；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知点，，，，动点S，T满足，，直线MS与NT交于一点P．设动点P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点.若的值与点G的位置无关，求证：.

（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值.

23．［选修4—5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知函数.

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）对于任意的实数m，n，且，若恒成立，求实数a的取值范围.

答案及解析

1．A【解析】由题意，知，解得或.但当时，为实数，因此.故选A.

2．B【解析】作出散点图易知，回归直线的斜率，截距.故选B.

3．C【解析】集合的子集有（个），集合的子集有（个），因此所选集合恰为集合的子集的概率为.故选C.

4．B【解析】直线与两条平行直线和分別交于点及（5，5），因此.由b是整数，知.故选B.

5．B【解析】由题意，知.逐一代入验证可知，仅点N可能同时在两条曲线上.故选B.

6．C【解析】当且时，成立；当且时，不一定成立；当且时，结合，得成立.故选C.

7．D【解析】由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，由，得.故选D.

8．A【解析】由几何关系易知，过点A，B，C的圆以PC为直径，其圆心为（0，1），直径为，故所求圆的方程为.故选A.

9．B【解析】由题意，知，故.结合可知，，即，所以一定是等腰三角形.故选B.

10．D【解析】设，则，，得，故，因此，所以双曲线的离心率.故选D.

11．B【解析】由已知，得

，当且仅当，即，时等号成立.因此，的最小值是50.故选B.

12．A【解析】由题意易知，为正三角形.如图，设点A折叠前的位置为点，则与都是正三角形.设，由，

得.

又由，，得，则，即四面体为正四面体.过点A作平面于点O，则点O是正三角形的中心.取BD的中点M，连接OM，则，，所以为二面角的平面角，且.

由二面角与二面角互补可知，二面角的余弦值为.故选A.

13．4【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示.由图易知，当直线过点时，取得最大值为4.

14．7【解析】的展开式的通项为，取及可知，的展开式中的常数项为1.项的系数为4.因此，的展开式中，常数项为.

15．13【解析】设样木数据由小到大依次为，，，，，记，则，.由于且可知，.

若，则，得，，，中要么有1个是4其余3个是0，要么4个都是1，这与样本数据互不相同矛盾.若，则，取，，，满足题意.若，则，，，，只有，，，满足，但此时不满足.若，则，，，，不满足.综上可知，，，即样本数据的最大值为13.

16．【解析】由已知可得，是的两个零点，因此3和5也是的零点，所以

.

由题意可知，关于x的方程有四个不同的实数解.令，则关于t的方程有两个不同的实数解，，且关于x的方程与各有两个不同的实数解，因此，.令，则解得，即实数k的取值范围是.

17．解：（Ⅰ）由题意，得，即，；

，即，将代入并整理得，.

当时，，即.

因此，当时，.

综上可知，数列的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

则，

由，得.

注意到随着n的增大而增大，且，，因此所求n的最小值为63.

18．解：（Ⅰ），

.

（Ⅱ）ⅰ）由题意并结合（Ⅰ）可知，，，

所以，所以 .

ⅱ）由ⅰ）可知，，所以，

所以，.

19．（Ⅰ）证明：如图，取BC中点O，AB中点M，连接DO，MO，EM，

则MO为的中位线，所以且.

又，所以四边形DEMO为平行四边形.

由，可知，.

由，O为BC中点，可知，且.

因为，，，所以平面DOM.

又平面DOM，所以.

若选①，则由，可知，.

又，所以平面ABC.

若选②，则由，，得.又所以平面BCD.又平面BCD，所以，所以四边形DEMO为矩形，所以.又，，所以平面ABC.

若选③，则由，M为AB中点，得.又，所以平面ABC.

又平面ABE，

所以平面平面ABC.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，OD，OB，OM两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，

得，.

易知平面ABE的一个法向量为.

设，则.

设平面AEF的法向量为，则即

令，得平面AEF的一个法向量．

由题意，得，解得或（舍去），

所以.

20．（Ⅰ）证明：设两条曲线交于点，则，即．

设，则对恒成立，

所以在上单调递增.

注意到，.

所以有且只有一个零点，且该零点在区间内.

因此，曲线与曲线有且只有一个公共点，且这个公共点的横坐标在区间内.

（Ⅱ）解：由题意，得对任意恒成立.

设，则.

由（Ⅰ）可知，当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

故只需.

由，得.

设，则，.

由可知，在上单调递增.

又出（1）可知，，所以，，所以，

所以实数a的取值范围是.

21．（Ⅰ）解：由题意，知，从而，则.

设，则，.

由M，P，S三点共线，得.

由，得，从而.

出N，P，T三点共线，得，消去得，整理得，

即曲线C的方程为.

（Ⅱ）证明：由题意并结合（Ⅰ）易知（不妨设点A在第一象限），，.

设点，其中，

则，，

所以.

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

此时，，

故不为定值.

若直线的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为.

将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，得.

设，，则，，

所以

，

故.

因为的值与m的值无关，

所以，解得，

所以，

所以G是EF的中点，即.

22．解：（Ⅰ）对于曲线C，由且可知，曲线C的普通方程为.

对于直线l，利用可知，直线l的直角坐标方程为.

（Ⅱ）设为曲线C上一点，

则点P到直线l的距离，

当且仅当，即时等号成立，此时.

因此，曲线C上的点到直线l的距离的最小值为.

23．解：（Ⅰ）当时，

当时，由，解得，即.

当时，恒成立.

当时，由，解得，即.

综上所述，不等式的解集为.

（Ⅱ）由柯西不等式，得，

当且仅当，即，时等号成立，

因此的最大值为5.

因为，当时等号成立，

所以的最小值为.

要使恒成立，只需成立，

所以实数a的取值范围是.