2021届上海市上海师范大学第二附属中学高三下学期3月月考数学试题（含解析）

2021届上海市上海师范大学第二附属中学高三下学期3月月考

数学试题

一、单选题

1．在行列式中，5的代数余子式的值为（    ）

A． B．9 C． D．45

【答案】A

【分析】由行列式写出5的代数余子式，求值即可.

【详解】由行列式知：5的代数余子式为，

∴5的代数余子式的值为.

故选：A

2．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，根据表格中的数据可以判定函数的一个零点所在的区间一定是（），则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由表格数据及函数解析式求出对应的值，根据零点存在性定理即可判断其中一个零点所在的区间，进而写出的值.

【详解】由表格数据知：

∴一个零点所在的区间是，故的值为.

故选：C

3．设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（    ）

A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大

【答案】B

【分析】设，然后由向量数量积的坐标表示求出为的函数后，根据函数性质可得结论．

【详解】设，由椭圆方程知，

，随的减小而变小，

故选：B.

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．

4．在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：设，则 ，，区域 表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则，故选A.

【解析】1.平面向量的应用；2.线性规划.

二、填空题

5．已知集合，集合，则________．

【答案】

【分析】由集合的交运算求即可.

【详解】由题设知：.

故答案为：

6．不等式的解集为________．

【答案】

【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】由题设，，

∴，解得，

∴解集为.

故答案为：

7．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为________．

【答案】

【分析】应用复数的除法运算化简，根据实部与虚部相等列方程求的值.

【详解】，又实部与虚部相等，

∴，即.

故答案为：

8．设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.

【答案】

【分析】求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.

【详解】由题意，，

又，且A、B、D三点共线，

由共线向量定理得，存在实数使得成立，

即，

则，解得.

故答案为：.

9．已知函数，且有g(a)g(b)=2，若a>0且b>0且，则ab的最大值为__________．

【答案】

【详解】由得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

10．若一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的3倍，则圆锥的高和球的半径之比为________．

【答案】

【分析】设球体半径为，圆锥的高为，结合已知条件及圆锥、球体的体积公式有，求出即可.

【详解】设球体半径为，则圆锥的底面半径为，若圆锥的高和球的半径之比，则圆锥的高，

∵该圆锥与球的体积相等，

∴，即，可得.

故答案为：
 

11．已知数列的通项公式为，则________．

【答案】

【分析】利用分组求和，结合等比数列的前n项和公式可得，由极限的求法求即可.

【详解】由题设，，

∴.

故答案为：

12．从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是________．

【答案】

【分析】列举出2恰好是中位数的基本事件，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】2恰好是中位数的基本事件有：、、、，共有4种，

而5个数中取3个数的取法有种，

∴2恰好是中位数的概率.

故答案为：

13．若函数的值域为，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题设知有，要使在上的值域为，则上讨论、判断的值域，进而求参数的范围.

【详解】由解析式知：时，，而函数在上的值域为，

∴在上，

若，则，不合题意；

若，则，即，可得.

∴的范围为.

故答案为：

14．已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为________．

【答案】

【分析】由已知可得：为R上的偶函数，又函数的有且只有一个零点，所以，由此可得：，解得

【详解】显然，由，可得：

， 为R上的偶函数.

函数的有且只有一个零点，

由此可得：，解得

故答案为：

【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.

15．已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【分析】由题意可知为奇函数，并且单调递增，将不等式，等价变形为，即.设.若对任意恒成立，则需恒成立，对分类讨论，求解即可.

【详解】的定义为，关于原点对称，.

为定义在上的奇函数.

当时，，在上单调递增.

为定义在上的增函数.

，即

设

若对任意恒成立.

则需恒成立.

当时，在上恒成立

当时，在上单调递增，则不满足题意，舍去

当时，在上单调递减，则需解得，即

综上所述：

故答案为：

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于较难的题.

16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为__________．

【答案】

【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD==

∴BC•CD=BD•r，

∴r=，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故答案为：3．

点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

三、解答题

17．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.

（1）求三棱柱的体积；

（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.

【答案】（1）20;（2）

【分析】（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；

（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.

【详解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，

两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：

V＝S△ABC×AA1

20．

（2）连结AM，

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，

两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，

∴AA1⊥底面ABC，AM，

∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，

tan∠A1MA，

∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．

【点睛】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

18．已知函数，x∈R，且f(x)的最大值为1.

（1） 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断△ABC的形状.

【答案】（1），(k∈Z)；（2）直角三角形.

【分析】（1）化简的解析式，求出其最大值，结合已知最大值可求得的值，利用正弦函数的递增区间可解得的单调递增区间；

（2）利用可求得，将边化角，结合可求得，，从而可得结果.

【详解】（1）

,

因为，所以，

由+2kπ≤2x+≤+2kπ，，得到：，，

所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)

（2）因为，则，则，

因为，所以，所以，所以，

又，则，，

化简得，得，

因为，所以，

所以，所以

所以，故△ABC为直角三角形.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及正弦定理的边角互化是解题关键.

19．已知函数，．

（1）当时，求函数的零点；

（2）若对任何，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）当时，，欲求函数的零点，即求对应方程的根．由解得的值即可；

（2）原不等式变为，即．再构造函数，研究其最值即可得出实数的取值范围．

【详解】（1）当时，，

由得

即或

解得，

所以.

所以函数的零点为.

（2）原不等式变为，

即，

故

又函数在，上单调递增，（增函数+增函数=增函数）

，

函数，，

所以在上单调递减， ；

所以，即实数的取值范围是．

20．已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；

（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【分析】(Ⅰ)由，可得，解出即可；

(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.

【详解】(Ⅰ)由题意：，

，解得，

则曲线的方程为：和.

(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，

设直线，

则联立，得，

，解得：，

又由数形结合知.              

设点，

则，，

，，

，即点在直线上.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，

设直线的方程为：，

联立，得：，                         

，

设，

，，

，

面积，

令，，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.

21．在数列中，若存在常数，使得任意都有，则称是数列．

（1）若数列是数列，且，，写出所有满足条件的数列的前4项；

（2）已知数列是等比数列，求证：是数列的充要条件是其公比为；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为，是否存在正整数、，使得不等式对一切都成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在p = q =1，使题设不等式成立.

【分析】（1）由题设可得，进而求、，结合已知写出前4项所有可能的组合即可；

（2）应用充要条件的定义，若公比为要使为常数有，求，再令判断是否为常数，即可证结论；

（3）首先由题设可得，再应用放缩法、裂项相消法得到的形式，即可确定正整数、是否存在.

【详解】（1）由题意知：，

∴是首项、公差分别为1、8的等差数列，故，

∴、，故数列的前4项为或或或.

（2）设的公比为，则要使且为常数，

∴仅当，即，则是数列，

若的公比为，即为常数，是数列，

∴是数列的充要条件是其公比为，得证.

（3）由题设知：，而，则，

∵，

∴，故，

∴，而，

∴对于一切都成立，

∴存在正整数，使对于一切都成立.

【点睛】关键点点睛：第三问，由题设可得，，根据放缩，结合裂项相消，即可得的形式.