陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学（理）及答案练习题

这是一份陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学（理）及答案练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知复数 z 满足 z(1 + 2i) =| 4 - 3i | （其中i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为( )


A. -2
B. -2i
C．1 D． i


2. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm) ，则该几何体的体积（单位：

cm3 ) 是( )

A．2 B．4 C．6 D．8

3. (x2 - 2)n 的展开式中，第 5 项为常数项，则n = ( )
x

A．8 B．6 C．7 D．10

4. 已知各项均为正数的等比数列{an } 的前 4 项和为 15，且a5 = 3a3 + 4a1 ，则a3 = ( )

A．16 B．8 C．4 D．2

5. 现有语文、数学、英语、物理各 1 本书，把这 4 本书分别放入 3 个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为( )

A．18 B．24 C．30 D．36

6. 在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析


式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中e = 2.71828 × × × 为自然对数的底数）与所给图象最契合的是( )

A. y = 2sin x
x2 + 1
B. y = 2x
x2 + 1

ex - e- x
C. y = ex + e- x

ex + e- x
D. y = ex - e- x


7. 地铁某换乘站设有编号为m1 ， m2 ， m3 ， m4 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如表：
安全出口编号
m1 ， m2
m2 ， m3
m3 ， m4
m1 ， m3
疏散乘客时间(s)
120
140
190
160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是( )



A. m1
B. m2
C. m3
D. m4



8. 已知直线3x + 4 y - 10 = 0 与圆C : x2 + y2 - 2x + 4 y - 20 = 0 相交于 A ， B 两点，点 P 在圆

C 上，且满足SDPAB = 4 ，则满足条件的 P 点个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9. 某建筑工地因施工噪音过大，被居民投诉．环保局要求其整改，降低声强．已知声强 I （单位：W / m2 ) 表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级
L （ 单位： dB) 与声强 I 的函数关系式为 L = 10 × lg(aI ) ． 已知 I = 1013W / m2 时，

L = 10dB ．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2 ，整改后的施工噪音的声强级降低了( )

A． 50dB B． 40dB C． 30dB D． 20dB

y2 x2
10. 已知双曲线C : a2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的上、下顶点分别为 A1 ， A2 ，点 P 在双曲线C
上（异于顶点），直线 PA ， PA 的斜率乘积为 3 ，则双曲线C 的渐近线方程为( )

1 2 4


A. y = ± 1 x
2
B. y = ± 3 x
2
C. y = ± 2 3 x
3
D. y = ±2x


ì| ln(x + 1) |, x Î(-1,1]

11. 已知函数 f (x) = ï x 1
，若方程 f (x) = a 有三个不等根 x ， x ， x ，

ï
í + ln2 -
î ex
, x Î(1, +¥)
e
1 2 3

则 1 + 1 + 1 的取值范围是( )
x1 x2 x3

A． (1, +¥)
B． (0,1) C． (-1, 0)
D． (-¥,1)

n 2n 2n-1 2n+1 2n +
12. 已知数列{a } 满足a - a = 3n - 1 ， a + a = 3n + 5(n Î N ) ，则数
列{an } 的前 40 项和S40 = ( )

A． 321 + 197
2
B． 320 + 197
2
C． 910 + 98
D． 920 + 98

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
r r r r r r r r
13. 已知单位向量a ， b 满足| a + b |=| a - 2b | ，则a 与b 的夹角为 ．
14. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618

就是黄金分割比 m =
5 - 1 的近似值， 黄金分割比还可以表示成 2sin18° ， 则
2

m 4 - m2
1 - 2sin2 27° = ．
15. 如图所示，已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为 F ，准线l 与 x 轴的交点为 K ，点 A 在


抛物线C 上，且在 x 轴的上方，过点 A 作 AB ^ l 于 B ，| AK |= 2 | AF | ，则DAFK 的面积

为 ．

16. 已知在圆柱O1O2 （?1 ,?2是圆柱上下底面圆心）内有一个球O ，该球与圆柱的上、

下底面及母线均相切．过直线O1O2 的平面截圆柱得到四边形 ABCD ，其面积为 8．若 P

为圆柱底面圆弧C¶D 的中点，则平面 PAB 与球O 的交线长为 ．

三、解答题：（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分 12 分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC﹣ tanBtanC＝0；

③cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0，

已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ．

（1）求 A；（2）若 a+2b＝3 且 a2 ≤ bc，求△ABC 的面积．




18．（本小题满分 12 分）在三棱锥 P - ABC 中，底面 ABC 为正三角形，平面 PBC ^ 平面 ABC ， PB = PC = 1 ， D 为 AP 上一点， AD = 2DP ， O 为三角形
ABC 的中心．

（1）求证： AC ^ 平面OBD ；

（ 2 ） 若直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45° ， 求二面角
A - BD - O 的余弦值．




19.（本小题满分 12 分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除
太阳外）视星等数值最小的 10 颗最亮恒星的相关数据，其中a Î[0 ，1.3] ．

星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四
视星等
-1.47
-0.72
-0.27
-0.04
0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝对星等
1.42
-5.53
4.4
-0.38
0.6
0.1
-6.98
2.67
-2.78
-5.85
赤纬
-16.7°
-52.7°
-60.8°
19.2°
38.8°
46°
-8.2°
5.2°
-57.2°
7.4°
（1） 从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（2） 已知北京的纬度是北纬40° ，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于-50° 时， 能在北京的夜空中看到它，现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为 X 颗，求 X 的分布列和数学期望；
1
（3） 记a = 0 时 10 颗恒星的视星等的方差为 s2 ，记a = 1.3 时 10 颗恒星的视星等的方差为s2 ，判断s2 与s2 之间的大小关系．（写结论不需要证明）
2 1 2

x2 y2
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、
F ， P 是椭圆 E 上的一动点，且| PF | 的最小值是 1，当 PF 垂直长轴时，| PF |= 3 ．
2 1 1 1 2

（1） 求椭圆 E 的方程；

（2） 是否存在斜率为-1 的直线l 与以线段 F1F2 为直径的圆相交于 A 、 B 两点，与椭

圆 E 相交于C 、 D 两点，且| CD | × | AB |= 24 2 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存
7
在，说明理由．

21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = x - alnx ．

（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程；

（Ⅱ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若关于 x 的方程 x - alnx = 0 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 x0 ， 求证： (a - 1)x0 > a ．

选做题：请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分 10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为


ìx = -1 +
ï
2


1 - t2 (t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

í
ï
ï y =
î
t


1 - t2

5
)
的极坐标方程为rcos(q+ p = ．
3 4

（1） 求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；

（2） 若直线l 交曲线C 于 A ， B 两点，交 x 轴于点 P ，求 1 + 1 的值．
| PA | | PB |

23．（本小题满分 10 分）已知函数 f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|．

（1） 当 a＝3 时，求不等式 f（x）＞3 的解集；


（2） 若 0＜a＜3，且对任意的 x∈R，f（x）≥恒成立，求 a 的最小值．







陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试理科数学答案
一、选择题 1-5 ACBCC 6-10 BBDDB 11-12 CA


二、填空题
p ． 2 ． 8 ． 4 10 p ．



3 5

42 + (-3)2
1．【解答】解：由 z(1 + 2i) =| 4 - 3i |= = 5 ，


得 z =
5


1 + 2i
= 5(1 - 2i)
(1 + 2i)(1 - 2i)

= 1 - 2i ， \复数 z 的虚部为-2 ． 故选： A ．


2．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．

如图所示：故该几何体的体积为：V = 1 (1 + 2) × 2 × 2 = 6 ．故选： C ．
2

3．【解答】解：第 5 项为T = C 4 (x2 )n-4 (- 2)4 = 16C 4 (x2n-8 )x-4 = 16C 4 x2n-12 ，由2n - 12 = 0 得

5 n


n = 6 ，故选： B ．
x n n


4. 【解答】解：设等比数列{an } 的公比为 q(q > 0) ，则由前 4 项和为 15，且 a5 = 3a3 + 4a1 ，有



ìïa + a q + a q2 + a q3 = 15
ìa = 1

3
í 1 1 1 1
1 1 1
ïîa q4 = 3a q2 + 4a
，\ í 1
îq = 2
，\ a = 22 = 4 ．故选： C ．


5. 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：①将 4 本书分为 3 组，语文和数学不在同一个组，

有C 2 - 1 = 5 种分组方法，②将分好的 3 组分别放到个抽屉，有 A3 = 6 种安排方法，则有5 ´ 6 = 30
4 3

种放法，故选： C ．

6. 【解答】解：函数的定义域为 R ，排除 D ， D 的定义域为

{x | x ¹ 0} ，



当 x > 0 时 ，

f (x) > 0 ， 排 除 A ， 当 x ® +¥ ，
ex - e- x
y = ® 1 ，
ex + e- x

y = 2x x2 + 1

® 0 ，排除C ，故选： B ．


7. 【解答】由同时开放 m2 ， m3 疏散 1000 名乘客所需的时间为140s ，同时开放 m3 ， m4 疏散 1000 名乘客所需的时间为190s ，所以 m2 比 m4 疏散乘客快，由同时开放 m3 ， m4 疏散 1000 名乘客所 需的时间为190s ，同时开放 m1 ， m3 疏散 1000 名乘客所需的时间为160s ，所以 m1 比 m4 疏散乘客快，由同时开放 m2 ， m3 疏散 1000 名乘客所需的时间为140s ，同时开放 m1 ， m3 疏散 1000 名乘客所需的时间为160s ，所以 m2 比 m1 疏散乘客快，由同时开放 m1 ， m2 疏散 1000 名乘客所需的时间为120s ，同时开放 m2 ， m3 疏散 1000 名乘客所需的时间为140s ，所以 m1 比 m3 疏散乘客快，
综上所述： m2 > m1 ， m1 > m3 ， m1 > m4 ， m2 > m3 ，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是 m2 ， 故选： B ．
8．【解答】解：圆C 化为(x - 1)2 + ( y + 2)2 = 25 ，则圆心坐标为C(1, -2) ，半径 r = 5 ，圆心C 到


r2 - d 2
直线3x + 4 y - 10 = 0 的距离 d = | 3 - 8 - 10 | = 3 ，则弦长| AB |= 2
5

= 8 ，设 P 到 AB 的距离


为 h ，则 S


DPAB
= 1 | AB | ×h = 4 ，解得 h = 1 ．而圆上 AB 两侧的动点到直线 AB 的最大距离分别为 5
2

和 2，故满足条件的点 P 共 4 个．故选： D ．


9 ．【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 ，
L = 10 × lg(aI ) ， 当
I = 1013W / m2 时 ，
L = 10dB ， 有


10 = 10 × lga ×1013 ，解得 a = 10-12 ，故有 L = 10 × lg10-12 I ，当变为原声强的10-2 时， I = 1011W / m2 ， 有 L = 10 × lg10-12 ×1011 ，可得 I = -10dB ，
由此可知降低了10dB - (-10dB) = 20dB ，故选： D ．

y2 x2
10．【解答】解：双曲线C : a2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的上、下顶点分别为 A1 (0, a) ， A2 (0, -a) ，


n2 - m2 =


2 = b2
2 - 2

点 P(m, n) 是C 上异于 A ， B 的一点，可得 a2
b2 1 ，即有 m
a2 (n a ) ，




设直线 PA ， PA 的斜率分别为 k
= n - a ， k

= n + a ，直线 PA ， PA 的斜率乘积为 3 ，即


1 2 1 m 2 m 1 2 4

= =
n2 - a2 3 a2 3
．所以 ，则


的渐近线方程为 y = ± 3

m2 4
b2 4
C
ì| ln(x + 1) |, x Î(-1,1]
x ，故选： B ．
2

íï
11. 【解答】解：因为函数 f (x) = ï x
+ ln2 -
î ex
1 , x Î(1, +¥) ，
e



作 出 函 数
f (x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 由 图 可 知 ， 0 < a < ln2 ， 设
x1 < x2 < x3 ， 则



ln(x + 1) = 1 , ln(x

+ 1) = a ， 所以 x + 1 = 1 ， 又 (x + 1)(x

+ 1) = 1 ， 所以 x x + x + x
= 0 ，

1
1 2
1 a 2
x2 + 1
1 2 1 2

1 + 1 + 1
= x1 + x2 + 1
= 1 - 1 ，又 x > 1 ，故 1 + 1 + 1 的取值范围是(-1, 0) ．故选： C ．

3
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x3 x1 x2 x3
n 2n 2n-1 2n+1 2n +
12. 【解答】解：数列{a } 满足 a - a = 3n - 1 ， a + a = 3n + 5(n Î N ) ，
\ a2n+1 + a2n-1 = 6 ， a2n+ 2 + a2n - (a2n+1 + a2n-1 ) = a2n+ 2 - a2n+1 + a2n - a2n-1 = 3n+1 - 1 + 3n - 1 = 4 ´ 3n - 2 ，



\ a + a
= 4 ´ 3n + 4 ，\(a + a ) +¼¼+ (a + a ) = 6 ´10 = 60 ．

2n+ 2 2n
1 3 37 39




3 19
3(1 - 910 ) 321 - 3

(a2 + a4 ) +¼¼+ (a38 + a40 ) = 4 ´ (3 + 3
+¼¼+ 3 ) + 4 ´10 = 4 ´
1 - 9
+ 40 =
+ 40 ．
2


321 - 3 321 + 197

则数列{an } 的前 40 项和 S40 = 60 +
+ 40 =
2
．故选： A ．
2



r r r r r r
r r r r
r r 1

13．【解答】解：Q | a |=| b |= 1，| a + b |=| a - 2b | ，\ 1 + 1 + 2agb = 1 + 4 - 4agb ，解得 agb = ，
2

r r r r r
r agb 1 r r p

\ cos < a, b >= r
r = ，且< a, b >Î[0,p] ，\ < a, b >=
2 3

| a || b |


14. 【解答】解：由题意， 2sin18° = m =
5 - 1 ，\ m2 = 4sin2 18° ，
2


m 4 - m2
= 2sin18° × 4 - 4sin218° = 2sin18° × 2 cos18° = 2sin 36° =

则
1 - 2sin2 27°
cos 54°
cos 54°
cos 54°
2 ．故答案为：2．



15. 【解答】解：因为抛物线C : y2 = 8x 的焦点 F ，所以 F 的坐标(2, 0) ，准线为 x = -2 ，

y 2
因为抛物线的准线l 与 x 轴的交点为 K ，所以 K (-2, 0) ，可设 A( 0 ， y ) ，
8 0



( 0 + 2)2 + y 2
y 2
8
0
则| AK |=
，| AF |=
，| KF |= 4 ，因为| AK |=
| AF | ，



( 0 - 2)2 + y 2
y 2
8
0
2
所 以

( 0 + 2)2 + y 2
y 2
8
0
( 0 - 2)2 + y 2
y 2
8
0
= 2 × ，解得 y = 4 或 y = -4 （舍去），
0 0


2
可 得 | AK |= 4 ， | AF |= 4 ， 可 知 DAFK 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ÐAFK = 90° ， 所 以





SDAFK

= 1 ´ 4 ´ 4 = 8 ． 2


16. 16．


















三、解答题：

17. 【解答】解：（1）选①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B），

由诱导公式，得 2sin（A+C）﹣2sinA cosC＝sinC，即 2sinC cosA＝sinC，

因为 sinC≠0，所以，所以
选②， 由诱导公式， 得 ， 整理即有 tanA+tanB+tanC ﹣ tanAtanBtanC＝0，

又已知 ，且tanAtanBtanC≠0，所以 ，所以．选③，已知，
由正弦定理，可得 ，

所以，即，

因为 sinC≠0，所以 ，即 ，所以 ．
（2）因为 a2≤bc，所以由余弦定理，有 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≤bc，所以（b﹣c）2
≤0，所以 b＝c，又 ，所以 a＝b＝c，所以△ABC 为等边三角形．又因为 a+2b＝3，所以 a＝b＝1，

所以．
18. 【解答】（1）证明：连结 AO 并延长 BC 交于点 E ，则 E 为 BC 的中点，连结 PE ，如图所示，因为O 为正三角形 ABC 的中心，所以 AO = 2OE ，又 AD = 2DP ，所以 DO / / PE ，因
为 PB = PC ， E 为 BC 的中点， 所以 PE ^ BC ， 又平面 PBC ^ 平面 ABC ， 平面ABC Ç 平面 PBC = BC ， PE Ì 平面 PBC ，
所以 PE ^ 平面 ABC ，所以 DO ^ 平面 ABC ，又 AC Ì 平面 PBC ，所以 DO ^ AC ，

又 AC ^ BO ， DO ^ BO = O ， DO ， BO Ì 平面OBD ，所以 AC ^ 平面OBD ；

（2）解：由 PE ^ 平面 ABC 可知， ÐPAE = 45° ，所以 PE = AE ，所以DABE @ DPBE ， 所以 AB = PB = BC = AC = 1 ，由（1）可知， EA ， EB ， EP 两两垂直，
所以分别以 EA ， EB ， EP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，



则 A(
, 0, 0), B(0, , 0), P(0, 0, ), D( , 0, ), C(0, - 1 , 0) ， 所 以

3
3
3
3
1
2 2 2 6 3 2

3
3
3
uuur
1 uuur 1

AB = (-
, , 0), BD = ( , - , ) ，

2 2 6 2 3

ìr uuur 3 y 3

r ïn × BD =
x - +
6 2
z = 0
3

设平面 ABD 的法向量为 n = (x, y, z) ，则í
r
uuur

3 y
，令 x = 1 ，则

ï
ïn × AB = -
î
x + = 0
2 2

y = 3, z = 1 ，所以 r = (1, 3,1) ，由（1）可知， AC ^ 平面 DBO ，故 uuur = (-

3 , - 1 , 0) 为平面 DBO




的法向量，


uuur
n



r uuur
AC
2 2



- 3 - 3

5 ´1
r n × AC 2 2 15


cos < n, AC >= r uuur
= = -
5
，二面角 A - BD - O 为锐二面角，二面角 A - BD - O

| n || AC |
的余弦值为 15 ．
5

19. 【解答】解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件 A ．，

由图表可知，10 颗恒星有 5 颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以 P( A) = 5 = 1 ；
10 2

（Ⅱ）由图表知，有 7 颗恒星的“赤纬”数值大于 -50° ，有 3 颗恒星的“赤纬”数值小于 -50° ．，所以随机变量 X 的所有可能取值为：1，2，3，4，

C1 × C3 7 1
C 2 × C 2 3
C3 × C1 1

C
C
10
2
P( X = 1) = 7 3 = = ，

P( X = 2) = 7 3 = ，

P( X = 3) = 7 3 = ，


C
10
4 210 30
4 4
10 10


C 4 × C0 1
P( X = 4) = 7 3 = ，
C
6
4
10
所以随机变量 X 的分布列为：

X
1
2
3
4
P
1

30
3

10
1

2
1

6
所以 X 的数学期望为 E( X ) = 1´ 1 + 2 ´ 3 + 3 ´ 1 + 4 ´ 1 = 14 ； （Ⅲ）结论： s 2 < s 2 ．

30 10 2 6 5 1 2

20. 【解答】解：（1）由题意，点 P 是椭圆上的一个动点，且| PF1 | 的最小值为 1，得 a - c = 1 ，

2
因为当 PF 垂直长轴时，| PF |= 3 ，所以 b = 3 ，即2b2 = 3a ，

1 1 2 a 2

3
+ =
2
2
又由 a2 = b2 + c2 ，解得 a = 2 ， b = ，所以椭圆 E 的标准方程为 x y 1 ．
4 3

（2）假设存在斜率为-1 的直线l ，设为 y = -x + m ，由（1）知， F1 (-1, 0) ， F2 (1, 0) ，所以以线
2
段 F F 为直径的圆为 x2 + y2 = 1，由题意，圆心(0, 0) 到直线 l 的距离 d = | -m | < 1 ，得| m |< ，

1 2


m2
1 -
2
ì x2
1 - d 2
2 - m2
ï
2

1
+ =
y2
2 2


所以| AB |= 2 = 2
= 2 ´
，联立í 4 3
ïî y = -x + m
，得7x
- 8mx + 4m
- 12 = 0 ，



2
由题意，△ = (-8m)2 - 4 ´ 7 ´ (4m2 - 12) = 336 - 48m2 = 48(7 - m2 ) > 0 ，解得 m2 < 7 ，又| m |< ， 所以 m2 < 2 ，

8m
设C(x1 ， y1 ) ， D(x2 ， y2 ) ，则 x1 + x2 = 7
， x1 x2 =
4m2 - 12
，
7



所以| CD |=
| x - x |= 2 ´ = ´
= 4 6 7 - m2

1 + k 2
(x + x )2 - 4x x
1 2
1 2
2
( ) - 4 7
8m
2
´ 4m - 12
2
7
2 1 7 ，

2 - m2
若| CD || AB |= 24 2 ，则 2 ´
´ 4 6 ´
= 24 2 ，

7 - m2
7 7 7

所以 m4 - 9m2 + 8 = 0 ，解得 m2 = 1 ，或 m2 = 8 ，又 m2 < 2 ，所以 m2 = 1 ，即 m = ±1 ， 故存在符合条件的直线l ，其方程为 y = -x + 1 或 y = -x - 1 ．
21．【解答】（Ⅰ）解：由 f (x) = x - alnx ，可得 f ¢(x) = 1 - a ，则 f ¢ （1） = 1 - a ，又 f （1） = 1，
x

所以曲线 y = f (x) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程为 y - 1 = (1 - a)(x - 1) ，即 y = (1 - a)x + a ．

（Ⅱ）解： f (x) = x - alnx 的定义域为(0, +¥) ， f ¢(x) = 1 - a = x - a ，
x x

当 a„0 时， f ¢(x) > 0 ， f (x) 在(0, +¥) 上单调递增；

当 a > 0 时，令 f ¢(x) > 0 ，可得 x > a ，令 f ¢(x) < 0 ，可得0 < x < a ，

所以 f (x) 在(0, a) 上单调递减，在(a, +¥) 上单调递增．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当 a > 0 时， f (x) = x - alnx = 0 才有两个不相等的实根，且 x0 > 0 ，


0
则要证(a - 1)x > a ，即证 a - 1 > 1
，即证1 - 1 > 1 ，而 x - alnx
= 0 ，则 a =
x0 (x
¹ 1，否则

a x0
a x0
lnx0

0 0
0
方程不成立），所以即证1 - lnx0 > 1 ，化简得 x

- lnx - 1 > 0 ，

0 0
x0 x0

0
令 g(x ) = x - lnx - 1，则 g¢(x ) = 1 - 1
0 0



0
= x0 - 1 ，当0 < x



< 1时， g¢(x ) < 0 ， g(x ) 单调递减，

0 0 0
x0 x0


当 x0 > 1 时， g¢(x0 ) > 0 ， g(x0 ) 单调递增，所以 g(x0 )…g （1） = 0 ，而 x0 ¹ 1 ， 所以 g(x0 ) > 0 ，所以(a - 1)x0 > a ，得证．

ì 2 ì 1 + t2

ïx = -1 + 1 - t2
ï x = 1 - t2

22．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为í
ï
ïî
y = t
1 - t2
(t 为参数），转换为í
ï
ï y =
î
，
t


1 - t2


ì 1 + t2

x = ①
í
整理得 ï 1 - t2

，① 2 - ② 2 转化为直角坐标方程为 x2 - 4 y2 = 1 ，

ï
ï2 y =
î
2t ②
1 - t2


5
3
5
)
直线l 的极坐标方程rcos(q+ p = ，直角坐标方程为 1 x - y = ．

3 4 2 2 4

ì
x =

5 + 3 t

（2）由于直线与 x 轴的交点坐标为， ( 5 , 0) 所以直线的参数方程为 ï
2 2 (t 为参数），




代 入 x2 - 4 y2 = 1 ， 得 到
2


t2 - 2 15t - 1 = 0 ， 所 以
í
ï
ïî
t + t = 2
y = 1
2

15
，

t

t × t



= -1， 则

1 2 1 2


1 1 | t - t |
(t + t )2 - 4t t

+ = 1 2 = 1 2 1 2
= 8 ．

| PA | | PB | | t1t2 | | t1t2 |




23．【解答】解：（1）a＝3 时，函数 f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|＝ ，不等式 f（x）＞




3 等价于 或 ，解得 x＜﹣或 x＞，所以不等式 f（x）＞3 的解集为（﹣∞
，﹣ ）∪（ ，+∞）；


（2）0＜a＜3 时，f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|＝ ，


此时﹣（a+3）＜0，﹣（3﹣a）＜0，且 a+3＞0，所以对任意的 x∈R，f（x）≥f（ ）＝ a+1

，

令a+1≥，化简得 a2+3a﹣4≥0，解得 a≥1 或 a≤﹣4（不合题意，舍去）， 所以 a≥1，即 a 的最小值是 1．