陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学（文）及答案练习题

这是一份陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学（文）及答案练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试文科数学试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 请将正确答案填写在答题
纸相应位置.

1. 若复数 z = i2022 + | 3 + 4i | ，则 z 的虚部为( )
3 - 4i


A. - 4 5
B. 4 5
C. - 2 i
5
D. 2 i
5


2. 矩形表示全集U = R ，大圆表示 A = {x 0„x„2}，小圆表示 B = {x x2 - x > 0} ，则阴影表示集合( )


A. {x | x„1或x > 2}
C. {x 1„x < 2}
B. {x | x < 0或1 < x < 2}
D. {x 1 < x„2}

第 2 题图


3. 已知直线l1 : 2x + ay + 2 = 0 与直线l2 : (a -1)x + 3y + 2 = 0 平行，则 a = ( )


A. 3
B. -2
C. -2 或 3
D. 5


4. 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f (x) = 2x - 3 ，则 f (-1) = ( )



A. 1
B. -1
C. 1 4
D. - 11
4


5. 设 x Î[0,p]，则2 sin x < 1 的概率为( )


A. 1 6
B. 1 4
C. 1 3
D. 1 2

íx - 3y - 3 £ 0
6. 若 x, y 满足ì2x - y +1 ³ 0, 且 z = x + 2 y ，则 z ( )
î

A. 有最小值，有最大值 B. 无最小值，无最大值

C. 有最小值，无最大值 D. 有最大值，无最小值

7. 执行如下程序框图，若输入 N = 6 ，则输出 p 的值是( )


A. 720
B. 120
C. 5040
D. 1440



8. 已知函数 f ( x) =
3 sin 2x - 2 cos2 x ，下列结论中错误的是( )


ç ÷
, )
A. f (x) 的图像关于æ p , -1ö 中心对称 B. f (x) 在(5p 11p 上单调递减

è 12 ø
12 12

C. f (x) 的图像关于 x = p对称
3

D. f (x) 的最大值为 1



9. 若m, n 为两条不同直线，a,b为两个不同平面，则下列命题中正确的有( )
(1)m Ìa， n Ì a， m // b， n // bÞa// b

(2)n // m ， n ^aÞ m ^a

(3)a// b， m Ìa， n Ì bÞ m // n

(4)m ^a， m ^ n Þ n //a


第 7 题图

A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个


10. 某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了 100 件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成 6 组：

[90,91)，[91,92)，[92,93)，[93,94)，[94,95)，[95,96]，得到如图所示的频率分
布直方图，则对这 100 件产品，下列说法中不正确的是（ ）.

A. b＝0.25

B. 长度落在区间[93,94)内的个数为 35

C. 长度的中位数一定落在区间[93,94)内

D. 长度的众数一定落在区间[93,94)内


x2 y2

2 2 2

11. 双曲线 a2 - b2 =1(a > 0, b > 0) 左、右焦点分别为 F1 , F2 ，过 F1 作圆 x + y = a
的切线，交双曲线右支于M ，若ÐF MF = p,则双曲线的渐近线方程为( )

1 2 4



A. y = ± 2x

B. y = ± 3x

C. y = ± x

D. y = ±2x


12. 已知函数 f (x) = 1 x3 + 1 ax2 + bx + c 有两个极值点 x , x ，若 f (x ) = x ，则关于

3 2 1 2 1 1

x 的方程 f 2 (x) + af (x) + b = 0 的不同实根个数为( )


A. 2
B. 3
C. 4
D. 5


二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.
r r r r r
13. 已知a = (1, -2) ， b = (2, 3) ，则a × (2b - a) = .

14. 下列式子：

13 = (1´1)2 ，

13 + 23 + 33 = (2 ´ 3)2 ，

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (3´ 5)2 ，…



由此可推得，


åi3
i=1
99
= 13 + 23 + 33 +L+ 993 的值为 .



D a2 + b2 - c2


15.
ABC 中， A, B, C 的对边分别为a, b, c ，面积为 ，则C ＝ .
4


16. 已知正三棱柱的各条棱长均为 1，则以其一个顶点为球心，1 为半径的球面与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 ．
三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.

17. 随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于 2017 年投入沙漠治理经费 2 亿
元，从 2018 年到 2020 年连续 3 年每年增加沙漠治理经费 1 亿元，近 4 年沙漠治理经费投入 x (亿元)和沙漠治理面积 y (万亩)的相关数据如下表所示：

年份
2017
2018
2019
2020
x
2
3
4
5
y
26
39
49
54
(I) 建立 y 关于 x 的线性回归方程；

(II) 若保持以往的经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破 100 万亩．

参考公式：

å
n
(xi - x )( yi - y)
n
b = i=1 ， a = y - bx .
å(xi - x )
2

i=1

18. (12 分)已知数列{an }满足a1 = 3, a2 = 15, an+2 = 5an+1 - 4an .

(I) 设bn = an+1 - an ，求证数列{bn }是等比数列；

(II) 设cn = 10 - log2 (an +1) ，求数列{cn }的前n 项和Tn 的最值.



第 19 题图
19. (12 分)如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为 AB 上一点，且DC = 2 AA1 = 2 AD = 4 AE = 4.

(I) 求证：平面 B1DE ^ 平面 AA1C1C ；

(II) 求三棱锥C1 - A1DE 的体积．


2
20. (12 分)椭圆C : x
a2
2
y
+ = 1(a > b > 0) 右焦点为 F (2, 0) ，且点(2, 2) 在C 上．
b2



(I) 求椭圆C 的方程及离心率；

(II) 过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点( 直线不与 x 轴垂直) ，已知 A, P 两点关于 x
轴对称，证明：直线 PB 恒过定点，并求出此定点坐标．

21. (12 分)已知函数 f (x) = a ln x + x -1(a Î R), g(x) = xex .

(I) 求曲线 y = g(x) 在 x = 1 处的切线方程；

(II) 讨论 f (x) 的单调性；

(III) 若 y = f (ex ) - ax +1 与 y = g(a) + ea ln x 图象有两个不同公共点，求 a 的范围．

22. （10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程：

在直角坐标系 xoy 中，曲线C 的参数方程为ìïx = 3 cosaa为参数) ，以
ï
î
1 í y = sina (

坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方

)
程为rsin(q+ p

= 2 2.

4

(I) 写出直角坐标系下C1 的标准方程和C2 的直角坐标方程；

(II) 设点 P 在C1 上，点Q 在C2 上，求| PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标．

23.（10 分）选修 4-5:不等式选讲


设函数 f ( x) =
x - a +1， a Î R


(I) 当a = 4 时，解不等式 f ( x) < 1+ 2x +1 ;

(II) 若 f (x)„2 的解集为[0, 2] ， 1 + 1 = a(m > 0, n > 0) ，求m + 2n 的最小值．
m n




















陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试文科数学答案



题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
A
C
C
A
B
B
D
A
B


13. -13 ; 14. 4950； 15. p
4
16. 3p
2



17. (1)
2＋3＋4＋5
x



3.5
26＋39＋49＋54
y



42，

由已知数据和参考数据得 ＝ ＝
4
， ＝ ＝
4



4
∑(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))(\a\vs4\al\co1(yi－\x\to(y)))＝(－1.5)×(－16)＋(－0.5)×(－3)＋0.5×7
i＝1

＋1.5×12＝47，


4
∑(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5，
i＝1


4
^ ∑i＝1(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))(\a\vs4\al\co1(yi－\x\to(y))) 47 ^ ^

b＝

＝9.1.

4
∑i＝1(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2
＝ 5 ＝9.4 ，a＝y－bx＝42 －9.4×3.5


^
所以线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.

7 分

919
(2 由y = 9.4x + 9.1 > 100得x > 94 ，而x ∈ Z，于是x ≥ 10. 所以到2025 年沙漠治理面积可突破100
万亩．.

12 分

18. (1) 由 an+2 = 5an+1 - 4an ，可知 an+2 - an+1 = 4(an+1 - an ) ，即bn+1 = 4bn ， 由 a1 = 3， a2 = 15 可知， b1 = a2 - a1 = 12 ，
所以{bn }是以 12 为首项，4 为公比的等比数列。


5 分


(2) 由(1) 知， a - a = b
= 12 ´ 4n-1 = 3´ 4n ，

n+1 n n



所 以 a = (a - a

) + (a
- a ) +L+ (a - a ) + a =4n -1 ， 所 以

n n n-1

n 2
c = 10 - log 4n = 10 - 2n ，
n-1
n-2 2 1 1

所以， Tn 无最小值，最大值为T4 = T5 = 20.
12 分
19. (1) 证明： 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，


A1 A ^ 平面 ABCD ， DE Ì 平面 ABCD ，所以 A1 A ^ DE.


因 为 DC = 2 AA1
ÐDAC = ÐDEA.

= 2 AD = 4 AE = 4 ， 所 以
AE = AD ， 所 以 RtVADE ∽ RtVDCA ， 则
AD DC

因为ÐDEA + ÐADE = 90° ，所以ÐDAC + ÐADE = 90°，则 DE ^ AC.
又 A1 AIAC = A ， AA1 Ì 平面 AA1C1C ， AC Ì 平面 AA1C1C ，
所以 DE ^ 平面 AA1C1C ，又 DE Ì 平面 B1DE ，所以平面 B1DE ^ 平面 AA1C1C.


6 分

(2) 解：由(1) 知 DE ^ 平面 AA1C1C ，设 AC 与 DE 交于点 F，连接 A1F ， C1F ，

1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则VC - A DE = VD- A C F + VE ¢- A C F = 3 EF × SVA C F + 3 DF × SVA C F = 3 DE × SVA C F .

易知 DE =
= 5, AC = = 2 ，
AD2 + AE2
AB2 + BC 2
5
1 1

在矩形 AA1C1C 中，易知 SVA FC = 2 S四边形AA C C = 2 ´ 2 5 ´ 2 = 2 5 ，
1 1 1 1

1 1 10

5
1 1 1 1
所以VC - A DE = 3 DE × SVA C F = 3 ´
5 ´ 2 = .
3


12 分


ì 4 + 2


= 1,

ï a2 b2 ì 2

20.
ï 2 2 2 a
(1) 由已知得 a = b + c , 解得í
= 8,

í
ï
ï c = 2,
î

x2 y2
îb2 = 4,


2
c 2

2 2
\椭圆 C 的标准方程为 + = 1，\椭圆 C 的离心率 e = = = .
8 4 a 2
4 分


(2) 证明：设 P(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 A(x1 , - y1 ) ，
ï
ì y = kx + m,
可设 PB 的直线方程为 y = kx + m ，联立方程í x2 + y2 =






2 2 2
ïî 8 4
1,

-4km

2m2 - 8

整理得(2k
+1)x
+ 4kmx + 2m
- 8 = 0 ，\ x1 + x2 = 2k 2 +1 , x1 x2 =
2k 2 +1 ，



Q k = k
，\ y1 = y2 ，整理得2kx x

+ (m - 2k )(x + x ) - 4m = 0 ，

AF FB
2 - x1 x2 - 2
1 2 1 2


2m2 - 8 -4km
\ 2k × + (m - 2k ) × - 4m = 0 ，解得 m = -4k ，
2k 2 +1 2k 2 +1

\ PB 的直线方程为： y = kx - 4k = k (x - 4) ，则直线 PB 恒过定点(4, 0).


12 分

21. (Ⅰ) g′(x) = ex +???,?′(1) = 2?,?(1) = ?

所以，所求切线为y = 2e(x−1) +e,即2ex−y−e = 0.

3 分

a x + a
(Ⅱ) 因为 f (x) = a ln x + x -1(a Î R) ，所以 f ¢(x) = +1 = (x > 0).
x x
①当 a…0 ， f ¢(x) > 0 ，函数 f (x) 在(0, +¥) 上单调递增；

②当 a < 0 ，令 f (x) = 0 ，得 x = -a ，

所以 x Î(0, -a) 时， f ¢(x) < 0 ； x Î(-a, +¥) 时， f ¢(x) > 0 ，

所以 f (x) 在(0, -a) 上单调递减，在(-a, +¥) 上单调递增．

综上所述，当 a…0 ， f (x) 的单调递增区间为(0, +¥) ，无单调递减区间；


当 a < 0 ， f (x) 的单调递增区间为(-a, +¥) ， f (x) 的单调递减区间为(0, -a).


7 分

(III)可知：方程 f (ex ) - ax +1 = ea (ln x + a) ，即ex = ea (ln x + a) 有两个不同的实根，

由ex = ea (ln x + a) 可得 xex = ea+ln x (ln x + a).

令 g(x) = xex ，因为 x > 0 时， g¢(x) = (x +1)ex > 0 ，所以 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增，

要使 g(x) = g(ln x + a) 有两个不同的实根，则需 x = ln x + a 有两个不同的实根．


1
令 h(x) = x - ln x - a ，则 h¢(x) = 1- =
x -1
，

x x
当 x Î(0,1) 时， h¢(x) < 0 ， h(x) 单调递减；当 x Î (1, +¥) 时， h¢(x) > 0 ， h(x) 单调递增， 所以 h(x)min = h(1) = 1- a.
①若 a < 1 ，则 h(x) > 0 ， h(x) 没有零点；

②若 a = 1 ，则 h(x)…0 ，当且仅当 x = 1 时取等号， h(x) 只有一 个零点；

③若 a > 1 ，则 h(1) = 1- a < 0 ， h(e- a ) = e- a > 0 ， h(ea ) = ea - 2a.

令j(a) = ea - 2a ，则当 a > 1 时，j¢(a) = ea - 2 > e - 2 > 0 ，即j(a) 在(1, +¥) 上单调递增，

所以j(a) >j(1) = e - 2 > 0 ，即 h(ea ) > 0.

故此时 h(x) 在(0,1) 上有一个零点，在(1, +¥) 上有一个零点，符合条件．

综上可知，实数 a 的取值范围是 (1, +¥).


12 分



22.
ìïx =
(1) 曲线C 的参数方程为
3 cosa
a为参数) ，

ï
î
1 í y = sina (



x2 2 2 2
x2 2

移项后两边平方可得 + y
3
= cos a+ sin
a= 1 ，所以C1 的普通方程为 3 + y
= 1；

p 2 2

2
2
曲线C2 的极坐标方程为rsin(q+ 4 ) = 2
，即r(
2
sinq+
cosq) = 2 ，
2

由 x = rcosq， y = rsinq得 x + y - 4 = 0 ，即C2 的直角坐标方程为直线 x + y - 4 = 0 ；
（2）由题意可得当直线 x + y - 4 = 0 的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为| PQ | 的最

小值，设与直线 x + y - 4 = 0 平行的直线方程为 x + y + t = 0 ，

íx2 + 23y = 3
联立ì x + y + t = 0 可得 4x2 + 6tx + 3t 2 - 3 = 0 ，由 V= 36t 2 -16(3t 2 - 3) = 0 ，解得 t = ±2 ，
î


显然t = -2 时，| PQ | 取得最小值，即有| PQ |min
= | -4 - (-2) | = ，
2
1+1

此时4x2 -12x + 9 = 0 ，解得 x = 3 ，即为
2
3 1
P( , ).
2 2

23. (1) 当 a = 4 时，不等式 f (x) < 1+ | 2x +1| 即为| x - 4 |<| 2x +1|
即( x - 4)2 < (2x +1)2 ，整理得 x2 + 4x - 5 > 0 ，解得 x > 1 或 x < -5,
所以原不等式的解集为{x x < -5或x > 1} ；
(2) 证明：由 f (x)„2 得| x - a | „1，从而-1+ a„x„1+ a ，
í
Q f (x)„1 的解集为{x | 0„x„2}，\ì-1+ a = 0 得 a = 1 ，\ 1 + 1 = a = 1.

î1+ a = 2 m n
2
又 m > 0 ， n > 0 ，\ m + 2n = (m + 2n)( 1 + 1 ) = 3 + ( 2n + m )…3 + 2 ，
m n m n


2
当且仅当 m = 1+
， n = 1+
时，取等号，故 m + 2n…3 + 2
2
2
2
，得证