陕西省西安中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含答案）

陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试

理科数学试题

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为　　

A． B． C．1 D．

2．某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积（单位：是　　

A．2          B．4             C．6            D．8

3．的展开式中，第5项为常数项，则　　

A．8 B．6 C．7 D．10

4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则　　

A．16 B．8 C．4 D．2

5．现有语文、数学、英语、物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为　　

A．18 B．24 C．30 D．36

6．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是　　

A．    B．  C．  D．

7．地铁某换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　　

A． B． C． D．

8．已知直线与圆相交于，两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为　　

A．1           B．2          C．3            D．4

9．某建筑工地因施工噪音过大，被居民投诉．环保局要求其整改，降低声强．已知声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为．已知时，．若整改后的施工噪音的声强为原声强的，整改后的施工噪音的声强级降低了　　

A．      B．      C．   D．

10．已知双曲线的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

11．已知函数，若方程有三个不等根，，，则的取值范围是　　

A．     B．      C．    D．

12．已知数列满足，，则数列的前40项和　　

A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知单位向量，满足，则与的夹角为　    　．

14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则　　   ．

15．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且在轴的上方，过点作于，，则的面积为 　    　．

16．已知在圆柱（,是圆柱上下底面圆心）内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为　    　．

三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B）；

②tanA+tanB+tanC﹣tanBtanC＝0；

③cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0，

已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．

（1）求A；（2）若a+2b＝3且a2bc，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）在三棱锥中，底面为正三角形，平面平面，，为上一点，，为三角形的中心．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中，．

（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；

（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（写结论不需要证明）

20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，

求证：．

选做题：请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若直线交曲线于，两点，交轴于点，求的值．

23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|．

（1）当a＝3时，求不等式f（x）＞3的解集；

（2）若0＜a＜3，且对任意的x∈R，f（x）≥恒成立，求a的最小值．

陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试

理科数学答案

一、选择题   1-5  ACBCC  6-10  BBDDB  11-12  CA

二、填空题  　    　．　 2   　．　   8 　．　    　．

1．【解答】解：由，

得，   复数的虚部为．    故选：．

2．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．

如图所示：故该几何体的体积为：．故选：．

3．【解答】解：第5项为，由得，故选：．

4．【解答】解：设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有

，，．故选：．

5．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将4本书分为3组，语文和数学不在同一个组，有种分组方法，②将分好的3组分别放到个抽屉，有种安排方法，则有种放法，故选：．

6．【解答】解：函数的定义域为，排除，的定义域为，

当时，，排除，当，，，排除，故选：．

7．【解答】由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，综上所述：，，，，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是，故选：．

8．【解答】解：圆化为，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，则弦长，设到的距离为，则，解得．而圆上两侧的动点到直线的最大距离分别为5和2，故满足条件的点共4个．故选：．

9．【解答】解：由题意可知，，当时，，有，解得，故有，当变为原声强的时，，有，可得，

由此可知降低了，故选：．

10．【解答】解：双曲线的上、下顶点分别为，，

点是上异于，的一点，可得，即有，

设直线，的斜率分别为，，直线，的斜率乘积为，即．所以，则的渐近线方程为，故选：．

11．【解答】解：因为函数，

作出函数的图象如图所示，由图可知，，设，则，所以，又，所以，，又，故的取值范围是．故选：．

12．【解答】解：数列满足，，

，，

，．

．

则数列的前40项和．故选：．

13．【解答】解：，，，解得，

，且，

14．【解答】解：由题意，，，

则．故答案为：2．

15．【解答】解：因为抛物线的焦点，所以的坐标，准线为，

因为抛物线的准线与轴的交点为，所以，可设，，

则，，，因为，

所以，解得或（舍去），

可得，，可知为等腰直角三角形，且，所以．

16．

三、解答题：

17．【解答】解：（1）选①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B），

由诱导公式，得2sin（A+C）﹣2sinA cosC＝sinC，即2sinC cosA＝sinC，

因为sinC≠0，所以，所以

选②，由诱导公式，得，整理即有tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，

又已知，且tanAtanBtanC≠0，所以，所以．

选③，已知，

由正弦定理，可得，

所以，即，

因为sinC≠0，所以，即，所以．

（2）因为a2≤bc，所以由余弦定理，有a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≤bc，所以（b﹣c）2≤0，所以b＝c，又，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．又因为a+2b＝3，所以a＝b＝1，

所以．

18．【解答】（1）证明：连结并延长交于点，则为的中点，连结，如图所示，因为为正三角形的中心，所以，又，所以，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以平面，又平面，所以，

又，，，平面，所以平面；

（2）解：由平面可知，，所以，所以，

所以，由（1）可知，，，两两垂直，

所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则，所以，

设平面的法向量为，则，令，则，所以，由（1）可知，平面，故为平面的法向量，

，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．

19．【解答】解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件．，

由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以；

（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于，有3颗恒星的“赤纬”数值小于．，

所以随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，

，，，，

所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望为；  （Ⅲ）结论：．

20．【解答】解：（1）由题意，点是椭圆上的一个动点，且的最小值为1，得，

因为当垂直长轴时，，所以，即，

又由，解得，，所以椭圆的标准方程为．

（2）假设存在斜率为的直线，设为，由（1）知，，，所以以线段为直径的圆为，由题意，圆心到直线的距离，得，所以，联立，得，

由题意，△，解得，又，所以，

设，，，，则，，

所以，

若，则，

所以，解得，或，又，所以，即，

故存在符合条件的直线，其方程为或．

21．【解答】（Ⅰ）解：由，可得，则（1），又（1），

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．

（Ⅱ）解：的定义域为，，

当时，，在上单调递增；

当时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，

则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，

令，则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以（1），而，

所以，所以，得证．

22．【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为，

整理得，①②转化为直角坐标方程为，

直线的极坐标方程，直角坐标方程为．

（2）由于直线与轴的交点坐标为，所以直线的参数方程为为参数），代入，得到，所以，，则．

23．【解答】解：（1）a＝3时，函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|＝，不等式f（x）＞3等价于或，解得x＜﹣或x＞，所以不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；

（2）0＜a＜3时，f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|＝，

此时﹣（a+3）＜0，﹣（3﹣a）＜0，且a+3＞0，所以对任意的x∈R，f（x）≥f（）＝a+1，

令a+1≥，化简得a2+3a﹣4≥0，解得a≥1或a≤﹣4（不合题意，舍去），

所以a≥1，即a的最小值是1．