2020-2021学年第30章 二次函数综合与测试精品课后测评

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

2、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

3、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（       ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

5、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

6、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

7、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

8、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

9、下列函数中，二次函数是（       ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

10、根据表格对应值：

判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（       ）

A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

2、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．

3、定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线． 根据定义回答以下问题：

(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2， 则该抛物线的顶点坐标为_________；

(2)当a=1时， 请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________．

4、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．

5、这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

(2)求a，b的值；

(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

2、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

根据以上列表，回答下列问题：

(1)直接写出、的值；

(2)求此二次函数的解析式．

3、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积

(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．

(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．

4、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）

5、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．

(1)建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；

(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

2、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

3、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为x=-1，

所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，故①正确；

由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；

由图象可知：抛物线开口向上，

∴a>0，

由对称轴可知：−<0，

∴b>0，故③正确；

当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；

所以，正确的结论有4个，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

4、D

【解析】

【分析】

根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．

【详解】

由图可知，使得时

使成立的x的取值范围是或

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．

5、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

7、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

9、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

10、B

【解析】

【分析】

利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．

【详解】

解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，

当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，

∵0.84＜2＜2.29，

∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，

故选：B

【点睛】

本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．

二、填空题

1、③④⑤

【解析】

【分析】

先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向下可得：

二次函数的图象与轴交于正半轴，可得

二次函数的对称轴为： 可得

所以： 故①不符合题意；

由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；

由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，

点在第一象限，

故③符合题意；

在第四象限，

抛物线的对称轴为：

故④符合题意；

当时，，

当，

此时：

故⑤符合题意；

综上：符合题意的有：③④⑤，

故答案为：③④⑤．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.

2、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．

【详解】

解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），

∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），

故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．

3、     （-1，-1）     （1，1+b）．

【解析】

【分析】

（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，

∴a=1，b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），

故答案为：（-1，-1）；

（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，

∴当x=1时，函数值都为1+b，

∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），

故答案为：过点（1，1+b）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．

4、（0，-1）

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，

得到y＝-x2+2-3=-x2-1，

顶点坐标为（0，-1），

故答案为：（0，-1）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．

5、

【解析】

【分析】

由图象可得：抛物线的对称轴为： 再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.

【详解】

解：由图象可得：抛物线的对称轴为：

而

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.

三、解答题

1、 (1)在，见解析

(2)a＝﹣1，b＝2

(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．

(1)

点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

(2)

∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

(3)

由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，

设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，

∴顶点坐标为（，），

∵其顶点仍在直线y＝x+1上，

∴=，

∴q=-=，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．

2、 (1)c=5，m=8

(2)y=x²+2x+5

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；

(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．

(1)

解：根据图表可知：

二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，

∴二次函数的对称轴为：直线，

∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，

∴(-3，8)的对称点为(1，8)，

∴m=8，

当x=0时，由表格中数据可知：c=5．

(2)

解：∵对称轴是直线x=-1，

∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，

设y=a(x+1)2+4，

将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，

解得a=1，

∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．

3、 (1)4

(2)2

(3)或m=

【解析】

【分析】

（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；

（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；

（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．

(1)

解：由抛物线开口向上，则m＞0

令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2

令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）

∴OA=2,OB=m

∴AB=m+2

由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4

∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°

∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2

∴AB=m+2=4

∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．

(2)

解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b

则 ，解得

∴BC所在直线的解析式为y=x-2

设直线AP的解析式为y=x+c

则有：0=×（-2）+c，即c=

∴线AP的解析式为y=x+

联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）

∴点P的纵坐标为：

∴点P的坐标为（m+2，）

∴OQ=m+2

∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．

(3)

解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

∴设P（x，）

∵在△ABC中，∠BAC=45°

∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：

①a.若△ABC∽△BAP

∴

又∵BP=AC

∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC

∴

过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°

∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°

∴PQ=BQ=m-x

由于PQ=

∴

∴

∴x-m=0或

∴x=m（舍去），x=-m-2

∴BQ=m-（-m-2）=2m+2

∵

∴

∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）

∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：

a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；

b. 若△ABP∽△BAC,则 ,

过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°

∴∠APQ=90°-∠PAB=45°

∴PQ=AQ=x+2

由于PQ=

∴

∴

∴x+2=0或

∴x=-2（舍去），x=2m

∴AQ= =2m+2

∵

∴

∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=

∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：

a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，

∵∠MAB≠∠PAB，

∴∠PAB≠∠ABC，

∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，

∵∠PBA≠∠NBA，

∴∠PBA≠∠CBA，

∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．

4、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．

(1)

解：设抛物线的解析式为，

将点、代入，得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

(2)

当时，，即，

解得：，

则水面的宽为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．

5、 (1)图解析，y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6

(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【解析】

【分析】

（1）依题意，建立直角坐标系（见详解1），依据二次函数的顶点式进行求解即可；

（2）结合（1）中的解析式，将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题，求解；

(1)

由题知，如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点为、点；

设抛物线的解析式为，

将点代入，得：，

则抛物线的解析式为，

(2)

结合（1），可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为，与横坐标的交点问题；

∴ 当y＝0时，有，

解得：或（舍），

∴，

答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【点睛】

本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用，关键在熟练应用解析结合实际问题；