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数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀课后练习题
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这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀课后练习题
九年级数学下册第三十章二次函数重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3、抛物线的顶点为（ ） A． B． C． D． 4、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 6、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ） A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3 7、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 8、一次函数与二次函数的图象交点（ ） A．只有一个 B．恰好有两个 C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点 9、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 10、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__． 2、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号） 3、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______． 4、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______． 5、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． (1)求c的值，并用含a的代数式表示b； (2)当a＝时． ①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值； ②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点． (1)若，时，用含的式子表示； (2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长； (3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式 3、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4、阅读理解，并完成相应的问题． 如图，重庆轨道2号线是中国西部地区第一条城市轨道交通线路，也是中国第一条跨座式单轨线路，因其列车在李子坝站穿楼而过闻名全国．小军了解到列车从牛角沱站开往李子坝站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小军通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据： ②建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线：请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型：观察这条曲线的形状，它可能是_______函数的图象． ⑤求函数解析式； 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求a，b的值．（请写出详细解答过程）． 验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们_______满足该函数解析式．（填“都”或“不都”） 结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为__________． (2)应用模型 列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为_______米． 5、已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）． (1)求这个二次函数的表达式． (2)将x轴上的点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值． -参考答案- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】 先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线x＝b，开口向下， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴1不在对称轴左侧， ∴b≤1， 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键． 2、C 【解析】 【分析】 先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口． 3、B 【解析】 【分析】 根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）． 【详解】 解：∵y=2（x-1）2+3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3）， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）． 4、C 【解析】 【分析】 根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④． 【详解】 解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴−＝1， ∴b＝−2a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0， ∴①说法正确， 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴b2−4ac＞0， ∴②错误， 由图象可知，当x＝−2时，y＜0， ∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0， ∴③正确， 由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根， ∵对称轴是x＝1， ∴另一个根为x＝5， ∴④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系． 5、C 【解析】 【分析】 根据两根之和公式可以求出对称轴公式． 【详解】 解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4， ∴x1＋x2＝− ＝2． ∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1． 故选：C． 【点睛】 本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 6、A 【解析】 【分析】 根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案 【详解】 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为， ∴另一交点为 设抛物线解析式为，将点代入得 解得 抛物线解析式为 则顶点坐标为 当x＞0时，函数值y的取值范围是 故选A 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键． 7、D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧， 得到：，，，， A、，，，得，故选项错误，不符合题意； B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意； C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意； D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 8、B 【解析】 【分析】 联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数． 【详解】 解：联立一次函数和二次函数的解析式可得： 整理得： 有两个不相等的实数根 与的图象交点有两个 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解． 9、B 【解析】 【分析】 看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可． 【详解】 ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴﹣4ac＞0； 故①正确； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0， ∴a＜0，b＞0， c＞0， ∴abc＜0； 故②正确； ∵， ∴4a+b＝0， 故③正确； x= -2时，y=4a-2b+c， 根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0； 故④错误. 故选B． 【点睛】 本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 10、C 【解析】 【分析】 由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案. 【详解】 解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴， 故①符合题意； 二次函敞的图象过点，结合图象可得： 在抛物线上， 抛物线的对称轴为： 故②符合题意； 二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得： 而 故③不符合题意； 当时， 又由图象可得：时， 解得： 故④符合题意； 综上：符合题意的有：①②④ 故选C 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键. 二、填空题 1、 【解析】 【分析】 首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式． 【详解】 解：开口向下， 中， 与轴的交点纵坐标为3， ， 抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用． 2、6 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可． 【详解】 建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点C坐标为（0，3）， 设抛物线解析式y＝ax2+3， 将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3， 解得：a＝﹣， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+3， 当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离， 将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3， 解得：x＝±， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 3、x=-5或x=0##或 【解析】 【分析】 根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可． 【详解】 解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0）， ∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1， 则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中， x+1=-4或x+1=1， 解得：x=-5或x=0， 即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0， 故答案为：x=-5或x=0． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键． 4、或## 或 【解析】 【分析】 根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】 如图所示，抛物线与直线的交点为，， ∴当时，或． 故答案为：或． 【点睛】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键． 5、## 【解析】 【分析】 分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果． 【详解】 解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点， 设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12， 将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−， 故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12， ∵PC=12，=1：2， ∴点C的坐标为（12，0），AC＝6， 即可得点A的坐标为(12，6)， 当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE， ∵E在A的正上方， ∴AE=CE-AC=-6=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． 三、解答题 1、 (1)c=6；b=2a+4 (2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)． 【解析】 【分析】 （1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值． （2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值． (1) 把（0，6）代入y=ax2+bx+c， 得c=6． 把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6， 得4a-2b+6=-2， ∴b=2a+4． (2) ①当a＝时， ∴，且c=6 ∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上． ∴顶点坐标为， ∵-4≤x≤2， ∴当x＝−时，y的最小值为−． 观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值， 把x=2代入y＝x2+x+6， y的最大值为20． ②∵y＝x2+x+6， 令y=0，则x=-6或x＝−， ∵点C在左侧， ∴C（-6，0） 设直线AC的解析式为y=kx+m， 把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得 m=6-6k+m=0 解得k=1，m=6， ∴y=x+6 设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6） ∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x， ∵OA=OC=6，∠AOC=90°， ∴∠COA=90°， ∵DF∥AO， ∴∠DFM=∠CAO=45°， DM＝FM＝FD， 设△FDM的周长为l， 则l＝DF+DM+MF＝ 当FD最大时，周长最大， 又∵， 又∵−＜0且-6＜x＜0， ∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大． 把x=-3代入y＝x2+x+6， 得y＝−， ∴D(−3，−)． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键． 2、 (1) (2)E点坐标为，弧长为 (3) 【解析】 【分析】 （1）将，代入，计算求解即可； （2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可； （3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式． (1) 解：将与代入 得 ∴用含的式子表示为． (2) 解：将与代入 得 ∴ ∴点坐标分别为 如图，作，连接 ∴， ∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴点坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴AE= ∴的坐标为，的长为． (3) 解：由题意知 ∵， ∴ ∵最小时，有解得 ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用． 3、 (1)，顶点坐标为：； (2)，证明见解析； (3)存在点P，，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标； （2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明； （3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得． (1) 解：抛物线经过点，，， 设抛物线解析式为：， 将点C代入可得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； (2) 解：如图所示： 为直角三角形且三边长分别为：，，， 的三边长分别为：， ，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴； (3) 解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图： ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 解得：， 设， ∴，， ∴， 整理得：①， =， 即②， 将①代入②整理得：， 解得：，， ∴，， ∴或（不符合题意舍去）， ∴，， 设直线FA解析式为：，将两个点代入可得： ， 解得：， ∴， ∴联立两个函数得：， 将①代入②得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， ∴． 【点睛】 题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 4、 (1)二次， 都， s= (2)32，0.25 【解析】 【分析】 （1）通过描点、连线，观察图形可知，图象可能是二次函数的函数的图象；将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得a、b的值，再将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，最后得到结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式； （2）让s=0，可求出列车从减速开始到列车停止的时间，然后将t=31代入s=t2-16t+256，即可求最后一秒钟，列车滑行的距离． (1) 解：描点连线如下图： 由这条曲线的形状可知，它可能是二次函数的函数的图象； 设s=at2+bt+c(a≠0)，因为t=0时，s=256，所以c=256，则s=at2+bt+256，将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得： ， 解这个方程组得：， ∴s=t2-16t+256， 当t=12时，×122-16×12+256=100， 当t=16时，×162-16×16+256=64， 当t=20时，×202-16×20+256=36， 当t=24时，×242-16×24+256=16， ∴其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式， ∴结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s=t2-16t+256（t≥0）； (2) ∵列车停止， ∴s=0， ∴t2-16t+256=0， 解这个方程得：t=32， ∴列车从减速开始经过32秒，列车停止； ∴最后一秒钟时31秒， 当t=31时，×312-16×31+256=0.25， ∴最后一秒钟，列车滑行的距离为0.25米． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法，做题的关键是确定二次函数的解析式． 5、 (1) (2)1 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，即可求解； （2）设点 ，可得点 ，从而得到点P1，P2关于对称轴 对称，可得 ，再由点P1在该二次函数图象上，可得，即可求解． (1) 解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）， ∴ ，解得： ， ∴这个二次函数的表达式为 ； (2) 解：设点 ， ∵点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2， ∴点 ， ∵点P1，P2均在该二次函数图象上， ∴点 关于对称轴 对称， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵点P1在该二次函数图象上， ∴ ， ∴， 解得： 或， ∵n＞0， ∴． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． r（秒）04812162024……s（米）256196144100643616……
九年级数学下册第三十章二次函数重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3、抛物线的顶点为（ ） A． B． C． D． 4、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 6、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ） A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3 7、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 8、一次函数与二次函数的图象交点（ ） A．只有一个 B．恰好有两个 C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点 9、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 10、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__． 2、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号） 3、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______． 4、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______． 5、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． (1)求c的值，并用含a的代数式表示b； (2)当a＝时． ①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值； ②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点． (1)若，时，用含的式子表示； (2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长； (3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式 3、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4、阅读理解，并完成相应的问题． 如图，重庆轨道2号线是中国西部地区第一条城市轨道交通线路，也是中国第一条跨座式单轨线路，因其列车在李子坝站穿楼而过闻名全国．小军了解到列车从牛角沱站开往李子坝站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小军通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据： ②建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线：请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型：观察这条曲线的形状，它可能是_______函数的图象． ⑤求函数解析式； 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求a，b的值．（请写出详细解答过程）． 验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们_______满足该函数解析式．（填“都”或“不都”） 结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为__________． (2)应用模型 列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为_______米． 5、已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）． (1)求这个二次函数的表达式． (2)将x轴上的点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值． -参考答案- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】 先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线x＝b，开口向下， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴1不在对称轴左侧， ∴b≤1， 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键． 2、C 【解析】 【分析】 先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口． 3、B 【解析】 【分析】 根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）． 【详解】 解：∵y=2（x-1）2+3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3）， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）． 4、C 【解析】 【分析】 根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④． 【详解】 解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴−＝1， ∴b＝−2a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0， ∴①说法正确， 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴b2−4ac＞0， ∴②错误， 由图象可知，当x＝−2时，y＜0， ∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0， ∴③正确， 由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根， ∵对称轴是x＝1， ∴另一个根为x＝5， ∴④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系． 5、C 【解析】 【分析】 根据两根之和公式可以求出对称轴公式． 【详解】 解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4， ∴x1＋x2＝− ＝2． ∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1． 故选：C． 【点睛】 本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 6、A 【解析】 【分析】 根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案 【详解】 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为， ∴另一交点为 设抛物线解析式为，将点代入得 解得 抛物线解析式为 则顶点坐标为 当x＞0时，函数值y的取值范围是 故选A 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键． 7、D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧， 得到：，，，， A、，，，得，故选项错误，不符合题意； B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意； C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意； D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 8、B 【解析】 【分析】 联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数． 【详解】 解：联立一次函数和二次函数的解析式可得： 整理得： 有两个不相等的实数根 与的图象交点有两个 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解． 9、B 【解析】 【分析】 看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可． 【详解】 ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴﹣4ac＞0； 故①正确； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0， ∴a＜0，b＞0， c＞0， ∴abc＜0； 故②正确； ∵， ∴4a+b＝0， 故③正确； x= -2时，y=4a-2b+c， 根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0； 故④错误. 故选B． 【点睛】 本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 10、C 【解析】 【分析】 由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案. 【详解】 解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴， 故①符合题意； 二次函敞的图象过点，结合图象可得： 在抛物线上， 抛物线的对称轴为： 故②符合题意； 二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得： 而 故③不符合题意； 当时， 又由图象可得：时， 解得： 故④符合题意； 综上：符合题意的有：①②④ 故选C 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键. 二、填空题 1、 【解析】 【分析】 首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式． 【详解】 解：开口向下， 中， 与轴的交点纵坐标为3， ， 抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用． 2、6 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可． 【详解】 建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点C坐标为（0，3）， 设抛物线解析式y＝ax2+3， 将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3， 解得：a＝﹣， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+3， 当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离， 将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3， 解得：x＝±， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 3、x=-5或x=0##或 【解析】 【分析】 根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可． 【详解】 解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0）， ∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1， 则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中， x+1=-4或x+1=1， 解得：x=-5或x=0， 即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0， 故答案为：x=-5或x=0． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键． 4、或## 或 【解析】 【分析】 根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】 如图所示，抛物线与直线的交点为，， ∴当时，或． 故答案为：或． 【点睛】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键． 5、## 【解析】 【分析】 分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果． 【详解】 解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点， 设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12， 将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−， 故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12， ∵PC=12，=1：2， ∴点C的坐标为（12，0），AC＝6， 即可得点A的坐标为(12，6)， 当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE， ∵E在A的正上方， ∴AE=CE-AC=-6=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． 三、解答题 1、 (1)c=6；b=2a+4 (2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)． 【解析】 【分析】 （1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值． （2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值． (1) 把（0，6）代入y=ax2+bx+c， 得c=6． 把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6， 得4a-2b+6=-2， ∴b=2a+4． (2) ①当a＝时， ∴，且c=6 ∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上． ∴顶点坐标为， ∵-4≤x≤2， ∴当x＝−时，y的最小值为−． 观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值， 把x=2代入y＝x2+x+6， y的最大值为20． ②∵y＝x2+x+6， 令y=0，则x=-6或x＝−， ∵点C在左侧， ∴C（-6，0） 设直线AC的解析式为y=kx+m， 把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得 m=6-6k+m=0 解得k=1，m=6， ∴y=x+6 设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6） ∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x， ∵OA=OC=6，∠AOC=90°， ∴∠COA=90°， ∵DF∥AO， ∴∠DFM=∠CAO=45°， DM＝FM＝FD， 设△FDM的周长为l， 则l＝DF+DM+MF＝ 当FD最大时，周长最大， 又∵， 又∵−＜0且-6＜x＜0， ∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大． 把x=-3代入y＝x2+x+6， 得y＝−， ∴D(−3，−)． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键． 2、 (1) (2)E点坐标为，弧长为 (3) 【解析】 【分析】 （1）将，代入，计算求解即可； （2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可； （3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式． (1) 解：将与代入 得 ∴用含的式子表示为． (2) 解：将与代入 得 ∴ ∴点坐标分别为 如图，作，连接 ∴， ∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴点坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴AE= ∴的坐标为，的长为． (3) 解：由题意知 ∵， ∴ ∵最小时，有解得 ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用． 3、 (1)，顶点坐标为：； (2)，证明见解析； (3)存在点P，，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标； （2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明； （3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得． (1) 解：抛物线经过点，，， 设抛物线解析式为：， 将点C代入可得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； (2) 解：如图所示： 为直角三角形且三边长分别为：，，， 的三边长分别为：， ，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴； (3) 解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图： ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 解得：， 设， ∴，， ∴， 整理得：①， =， 即②， 将①代入②整理得：， 解得：，， ∴，， ∴或（不符合题意舍去）， ∴，， 设直线FA解析式为：，将两个点代入可得： ， 解得：， ∴， ∴联立两个函数得：， 将①代入②得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， ∴． 【点睛】 题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 4、 (1)二次， 都， s= (2)32，0.25 【解析】 【分析】 （1）通过描点、连线，观察图形可知，图象可能是二次函数的函数的图象；将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得a、b的值，再将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，最后得到结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式； （2）让s=0，可求出列车从减速开始到列车停止的时间，然后将t=31代入s=t2-16t+256，即可求最后一秒钟，列车滑行的距离． (1) 解：描点连线如下图： 由这条曲线的形状可知，它可能是二次函数的函数的图象； 设s=at2+bt+c(a≠0)，因为t=0时，s=256，所以c=256，则s=at2+bt+256，将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得： ， 解这个方程组得：， ∴s=t2-16t+256， 当t=12时，×122-16×12+256=100， 当t=16时，×162-16×16+256=64， 当t=20时，×202-16×20+256=36， 当t=24时，×242-16×24+256=16， ∴其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式， ∴结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s=t2-16t+256（t≥0）； (2) ∵列车停止， ∴s=0， ∴t2-16t+256=0， 解这个方程得：t=32， ∴列车从减速开始经过32秒，列车停止； ∴最后一秒钟时31秒， 当t=31时，×312-16×31+256=0.25， ∴最后一秒钟，列车滑行的距离为0.25米． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法，做题的关键是确定二次函数的解析式． 5、 (1) (2)1 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，即可求解； （2）设点 ，可得点 ，从而得到点P1，P2关于对称轴 对称，可得 ，再由点P1在该二次函数图象上，可得，即可求解． (1) 解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）， ∴ ，解得： ， ∴这个二次函数的表达式为 ； (2) 解：设点 ， ∵点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2， ∴点 ， ∵点P1，P2均在该二次函数图象上， ∴点 关于对称轴 对称， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵点P1在该二次函数图象上， ∴ ， ∴， 解得： 或， ∵n＞0， ∴． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． r（秒）04812162024……s（米）256196144100643616……
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