北师大版数学·必修3 综合学业质量标准检测 试卷

这是一份北师大版数学·必修3 综合学业质量标准检测 试卷，共10页。

综合学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是(　D　)
A．分层抽样　　　　　 B．抽签抽样
C．随机抽样 D．系统抽样
[解析]　号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样．

2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是(　C　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
[解析]　甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
3．下列说法中，正确的是(　B　)
A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4
B．一组数据的标准差的平方是这组数据的方差
C．数据2,3,4,5的方差是数据4,6,8,10的方差的一半
D．频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频数
[解析]　A中的众数是4和5；C中，2,3,4,5的方差为1.25，而数据4,6,8,10的方差为5；D中，频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频率．
4．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入x的值为7，第二次输入x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　D　)

A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
[解析]　当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4<7＝x.
又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9>7＝x，∴退出循环，a＝1，
∴输出a＝1.
当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4<9＝x.
又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＝x，又9能被3整除，
∴退出循环，a＝0.
∴输出a＝0.
5．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　A　)

A．91.5和91.5　　　　 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
[解析]　数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5，
平均数为＝91.5.
6．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面朝上，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是\”或“不是\”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是\”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是(　B　)
A．30 B．60
C．120 D．150
[解析]　因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是，被调查者中大约有300人回答了问题(1)，有300人回答了问题(2)；又因为学号为奇数或偶数的概率也是，故在回答问题(1)的300人中，大约有150人回答“是\”，在回答问题(2)的300人中，大约有180－150＝30(人)回答了“是\”，即有的被调查者闯红灯，则被调查者中的600人中大约有60人闯过红灯．故选B．
7．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　设圆O的半径为R，“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝＝＝.
8．在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余n－1个小矩形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数是(　A　)
A．32 B．20
C．40 D．25
[解析]　频率分布直方图中所有小矩形的面积和等于1，设中间一个小矩形的面积为S，则其余n－1个小矩形的面积为4S.
∴S＋4S＝1，S＝，所以频数为×160＝32.
9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s与19 s之间，将测试结果分成如下六组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18)，[18,19]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩在[15,17)中的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为(　A　)

A．90%,35 B．90%,45
C．10%,35 D．10%,45
[解析]　易知成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为[1－(0.04＋0.06)×1]×100%＝90%，成绩在[15,17)中的学生的频率为(0.36＋0.34)×1＝0.7，人数为50×0.7＝35人．
10．我市某机构为调查2014年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间X(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：
①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10 000名中学生参加了此项活动，如图所示是此次调查中某一项的算法框图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是(　B　)

A．0.62 B．0.38
C．6 200 D．3 800
[解析]　该算法框图的功能是输出平均每天参加体育锻炼时间在21分钟及其以上的学生人数．由题意知，平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生人数为10 000－6 200＝3 800，故其频率为0.38.
11．如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是(　D　)

A．7 B．8
C．9 D．10
[解析]　本题考查循环结构以及茎叶图．解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义，分析程序中各变量、各语句的作用．根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为10，故选D．
12．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为(　D　)
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
[解析]　点P(a，b)共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)6种情况，得x＋y分别等于2,3,4,3,4,5，
∴出现3与4的概率最大．
∴n＝3或n＝4.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_18__件．
[解析]　抽样比为＝，
∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．
14．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是_5.5__.

[解析]　根据茎叶图中的数据，得这组数据的平均数＝(88＋87＋91＋93＋94＋92＋90＋93)＝91，方差s2＝[(88－91)2＋(87－91)2＋(91－91)2＋(93－91)2＋(94－91)2＋(92－91)2＋(90－91)2＋(93－91)2]＝×44＝5.5.
15．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，甲排在乙之前的概率是 　.
[解析]　安排甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，故甲在乙之前和乙在甲之前的机会相等，∴概率为.
16．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚_160_000__只．
[解析]　设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝160 000.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知1＋2＋3＋4＋…＋i≤200，画出求i的最大值的流程图．
[解析]　流程图如下所示：

18．(本小题满分12分)(2019·山西大同灵丘县高一期末测试)2018年，世界政治风云存在着诸多变数，中东成为世界的焦点．现有8名维和军人，其中维和军人A1，A2，A3通晓英语，B1，B2，B3通晓俄语，C1、C2通晓汉语，2018年10月1日，国际社会从中选出通晓英语、俄国和汉语的维和军人各1名，组成一个中东战地维和领导小组．
(1)求A2被选中的概率；
(2)求B1和C1至少有一个人被选中的概率．
[解析]　(1)从8人中选出通晓英语、俄语和汉语维和军人各1名的可能结果为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18种情况．用M表示事件“A2被选中”，事件M所包含的基本事件有(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)共6个，
∴P(M)＝＝.
(2)用N表示事件“B1和C1至少有1个人被选中”，根据(1)求解知，B1和C1至少有1个人被选中有12种情况，∴B1和C1至少有1个人被选中的概率P(N)＝＝.
19．(本小题满分12分)为了了解工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A、B、C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A、B、C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
[解析]　(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2、3、2.
(2)设A1、A2为在A区中抽得的2个工厂，B1、B2、B3为在B区中抽得的3个工厂，C1、C2为在C区中抽得的2个工厂，从这7个工厂中随机抽取2个，全部的可能结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，B3)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)共21种，随机抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，一共有11种，所以所求的概率为.
20．(本小题满分12分)2019年8月1日贵诚购物中心举行“庆祝建军节回报顾客”的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下：
排队人数
0～10人
11～20人
21～30人
31～40人
41～50人
50人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多30人排队的概率；
(2)至少31人排队的概率．
[解析]　(1)记“0～10人排队”为事件A，“11～20人排队”为事件B，“21～30人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，故所求概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少31人排队”为事件D，由(1)知“少于31人排队”为A＋B＋C，那么事件D与事件A＋B＋C互为对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－P(A)－P(B)－P(C)＝1－0.1－0.16－0.3＝0.44.
21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[解析]　(1)如图所示．

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
22．(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
(1)如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？
(2)随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
①若规定85分以上(包括85分)为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？
②根据上述数据，用变量y与x的散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间的线性回归线方程(系数精确到0.01)．
参考公式：b＝，a＝－b
回归线直线方程是y＝bx＋a.
参考数据：＝77.5，＝84.875.
(x1－)2＝1 050，(y1－)2≈457，
(xi－)(yi－)≈688，
≈32.4，＝21.4，≈23.5.
[解析]　(1)应选女生25×＝5位，男生15×＝3位．
(2)1°由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，故所求概率是.
2°数学成绩x为横坐标，物理成绩为纵坐标作散点图如下：

从散点图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近．故物理与数学成绩相关．
设y与x的线性回归方程是y＝bx＋a，
根据所给的数据，可以计算出b≈≈0.66，a＝84.875－0.66×77.5≈33.73，
所以y与x的回归方程是y≈0.66x＋33.73.