数学必修25.1平行关系的判断精品课件ppt

第一章　§5　5.2

A级　基础巩固

一、选择题

1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(　C　)

A．一定平行　　　　　 B．一定相交

C．平行或相交 D．以上都不对

2．对于不重合的两直线m、n和平面α，下列说法中正确的是(　B　)

A．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n∥α

B．如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n

C．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交

D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB平面AC，直线CC1平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排除选项A；直线AB平面AC，直线B1C1平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排除选项C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排除选项D．

3．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是(　A　)

A．平行 B．相交

C．平行或相交 D．AC在此平面内

[解析]　如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC．显然EF平面EFG，AC平面EFG，所以有AC∥平面EFG．

4．下列结论中正确的是(　D　)

A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点

[解析]　A项中，若l∩α＝A时，除A点所有的点均不在α内；B项中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；C项中，另一条直线可能在平面内．

5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(　C　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．平行或相交 D．以上都不对

[解析]　如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C．

6．α、 β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　D　)

A．α、 β都平行于直线l、m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β

D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

[解析]　A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l、m的平行线l′、m′，则l′、m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β．

二、填空题

7．设a，b是直线，α是平面，给出下列四个结论：

①若a∥b，a∥α，则b∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b与α相交，则a与α也相交；

④若a与b异面，a∥α，则b∥α．

其中正确结论的序号是__③__．

[解析]　如图的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD∥直线B1C1，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1C1平面A1C1，所以①不正确；直线AD∥平面A1C1，直线AB∥平面A1C1，但AB与AD相交，故②不正确；③显然正确，可以用反证法证明；直线AD与直线B1A1异面，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1A1平面A1C1，所以④不正确．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱柱CC1的位置关系是__平行__，截面BA1C1和直线AC的位置关系是__平行__．

[解析]　∵B1B∥C1C，

∴直线BB1∥平面AA1C1C．

∵B1B平面BB1D1D，∴B1B平行于两平面的交线．

由公理4知，交线平行于C1C．

由AC∥A1C1，AC平面BA1C1，A1C1平面BA1C1，

∴AC∥平面BA1C1．

三、解答题

9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．

[解析]　取PC的中点G，连接GE，GF．

由条件知GF∥CD，EA∥CD，

∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．

∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，

∴FA∥GE.则四边形GEAF为平行四边形．

∴GF＝CD，EA＝CD＝BA，

∴E为AB的中点．

10．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE．

[解析]　证法一：作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q．

∴MP∥NQ，∵AM＝FN，

∴MP＝MC＝BN＝NQ．

∴MP綊NQ，则四边形MNQP为平行四边形，

∴MN∥PQ．

∵MN平面BCE，PQ平面BCE，∴MN∥平面BCE．

证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，

∵AF∥BG，

∴＝＝，

∴MN∥CG，

∵MN平面BCE，CG平面BCE，∴MN∥平面BCE．

B级　素养提升

一、选择题

1．点N、M是正方体ABCD－A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(　A　)

A．平行 B．相交

C．MN平面PCB1 D．以上三种情况都有可能

[解析]　如图所示，∵M、N分别是A1B1、A1A的中点，

∴MN∥AB1.取B1C的中点G，又P是AC的中点，

∴PG∥AB1，∴MN∥PG．

又MN平面PCB1，PG平面PCB1，

∴MN∥平面PCB1．

2．(2017·全国卷Ⅰ文，6)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　A　)

[解析]　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．

∵QD∩平面MNQ＝Q，

∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交．

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ．

又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ．

又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ．

又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．

故选A．

二、填空题

3．已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面．

①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；

③a∥c，α∥c⇒a∥α；④a∥γ，α∥γ⇒a∥α；

⑤aα，bα，a∥b⇒a∥α．

其中正确的结论序号是__①⑤__．

[解析]　由公理4知①正确；对于②，因平行于同一个平面的两条直线不仅仅是平行，也可以相交，所以②不对；对于③当aα内时，我们不能说a∥α，所以错误；对于④当a∥γ，α∥γ时a∥α或aα，所以④错误；对于⑤，由直线与平面平行的判定定理知成立．

4．如图是正方体的平面展开图．

在这个正方体中，

①BM∥平面DE；

②CN∥平面AF；

③平面BDM∥平面AFN；

④平面BDE∥平面NCF．

以上四个结论中，正确结论的序号是__①②③④__．

[解析]　展开图可以折成如下图a所示的正方体．

在正方体中，连接AN，如图b所示．

∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四边形ABMN是平行四边形．

∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，

∴①②正确；

如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．

三、解答题

5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G分别为AA1、AB、AC的中点，M、N、P分别为A1C1、A1B1、C1C的中点．

求证：平面EFG∥平面MNP．

[解析]　连接A1C，在四边形ACC1A1中，

E、G分别为AA1，AC的中点，所以EG∥A1C．同理MP∥A1C，所以EG∥MP．

又因为EG平面EFG，MP平面EFG，

所以MP∥平面EFG．

因为M、N分别为A1C1、A1B1的中点，

所以MN∥B1C1.同理可得，FG∥BC．

又因为BC∥B1C1，所以MN∥FG．

而MN平面EFG，FG平面EFG，

所以MN∥平面EFG．

又因为MN∩MP＝M，所以平面EFG∥平面MNP．

6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P ＝ A1C1，连接AP交棱CC1于点D．

求证：PB1∥平面BDA1．

[解析]　连接AB1，与BA1交于点O，连接OD．

∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P，∴AD＝PD．

又∵AO＝B1O，∴OD∥PB1．

又OD平面BDA1，PB1平面BDA1，

∴PB1∥平面BDA1．

C级　能力拔高

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．

[解析]　当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF．

证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝EC，

而FB∥EC且FB＝EC，

所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF．