北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试课后练习题
展开京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明课时练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、下列说法中正确的个数是( )
(1)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,b∥c,则a∥c
(2)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a⊥c
(3)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,a⊥c,则b⊥c
(4)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a∥c.
A.1 B.2 C.3 D.4
2、如图,已知直线,相交于O,平分,,则的度数是( )
A. B. C. D.
3、如图,,交于点,,,则的度数是( )
A.34° B.66° C.56° D.46°
4、如果一个角的补角是这个角的4倍,那么这个角为( )
A.36° B.30° C.144° D.150°
5、如图,货轮O航行过程中,同时发现灯塔A和轮船B,灯塔A在货轮O北偏东40°的方向,∠AOE=∠BOW,则轮船B在货轮( )
A.西北方向 B.北偏西60° C.北偏西50° D.北偏西40°
6、如图,下列条件中,不能判断∥的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠4+∠5=180° D.∠3=∠4
7、已知一个角等于它的补角的5倍,那么这个角是( )
A.30° B.60° C.45° D.150°
8、如图,AB∥CD,AE∥CF,∠A=41°,则∠C的度数为( )
A.139° B.141° C.131° D.129°
9、如图,直线AB,CD相交于点O,AOC30,OE⊥AB,OF是AOD的角平分线.若射线OE,OF分C别以18/s,3/s的速度同时绕点O顺时针转动,当射线OE,OF重合时,至少需要的时间是( )
A.8s B.11s C.s D.13s
10、下列说法:
①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③同位角相等;
④经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F,EG平分∠BEF交直线CD于点G,若∠1=∠BEF=68°,则∠EGF的度数为_______.
2、若α=25°57′,则2α的余角等于_____.
3、已知:如图,直线AB、CD被直线GH所截,,求证: ABCD.完成下面的证明:
证明:∵AB被直线GH所截,
∴_____
∵
∴______
∴______________(________)(填推理的依据).
4、如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°38′,OD平分∠AOC,则∠DOC的度数为 _____.
5、如图,BD平分,,,要使,则______°.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、直线AB//CD,直线EF分别交AB、CD于点M、N,NP平分∠MND.
(1)如图1,若MR平分∠EMB,则MR与NP的位置关系是 .
(2)如图2,若MR平分∠AMN,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.
(3)如图3,若MR平分∠BMN,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.
2、综合与实践
【问题情境】利用旋转三角尺开展数学活动,探究体会角在旋转过程中的变化.
【操作发现】如图①,将一个45°角的直角三角形三角板ABO的顶点O放在直线OD上的O处,斜边OA在直线OD上,延长BO至C.
(1)如图②,将图①中的三角板ABO绕着点O逆时针旋转90°后得到△O,此时∠BO= °,OA平分∠ ;
【实践探究】
(2)如图③,将图②中的三角板绕点O逆时针继续旋转一定角度,使OD在∠内部,且∠DOC=45°,请探究:
①∠1与∠3之间的数量关系为 .
理由如下:(请利用图中的字母和数字完成证明过程)
因为∠DOC=45°,
所以∠2+∠3=45°.
又因为∠ +∠2=45°,
所以∠2+∠ =∠ +∠2.
所以 .
②∠1的补角有 个,分别为 ,
③∠2的余角为 .
3、如图,O是直线AB上点,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=70°,求∠COD和∠EOC的度数;
(2)写出∠COD与∠EOC具有的数量关系,并说明理由.
4、已知:如图①,AB∥CD,点F在直线AB、CD之间,点E在直线AB上,点G在直线CD上,∠EFG=90°.
(1)如图①,若∠BEF=130°,则∠FGC= 度;
(2)小明同学发现:如图②,无论∠BEF度数如何变化,∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:过点E作EM∥FG,交CD于点M.请你根据小明同学提供的辅助线方法,补全下面的证明过程;
(3)拓展应用:如图③,如果把题干中的“∠EFG=90°”条件改为“∠EFG=110°”,其它条件不变,则∠FEB﹣∠FGC= 度.
解:如图②,过点E作EM∥FG,交CD于点M.
∵AB∥CD(已知)
∴∠BEM=∠EMC( )
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EMC( )
∠EFG+∠FEM=180°( )
即∠FGC=( )(等量代换)
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEM=( )
又∵∠EFG=90°
∴∠FEM=90°
∴∠FEB﹣∠FGC=
即:无论∠BEF度数如何变化,∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值.
5、如图,OC是∠AOB的平分线,且∠AOD=90°,∠COD=27°.求∠BOD的度数.
---------参考答案-----------
一、单选题
1、C
【分析】
根据平行线的性质分析判断即可;
【详解】
在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,b∥c,则a∥c,故(1)正确;
在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a∥c,故(2)错误;
在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,a⊥c,则b⊥c,故(3)正确;
在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a∥c.故(4)正确;
综上所述,正确的是(1)(3)(4);
故选C.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,准确分析判断是解题的关键.
2、C
【分析】
先根据角平分线的定义求得∠AOC的度数,再根据邻补角求得∠BOC的度数即可.
【详解】
解:∵OA平分∠EOC,∠EOC=100°,
∴∠AOC=∠EOC=50°,
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°.
故选:C.
【点睛】
本题考查角平分线的有关计算,邻补角.能正确识图是解题关键.
3、C
【分析】
由余角的定义得出的度数,由两直线平行内错角相等即可得出结论.
【详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
故选:C
【点睛】
本题考查了平行线的性质和余角,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
4、A
【分析】
设这个角为 ,则它的补角为 ,根据“一个角的补角是这个角的4倍”,列出方程,即可求解.
【详解】
解:设这个角为 ,则它的补角为 ,根据题意得:
,
解得: .
故选:A
【点睛】
本题主要考查了补角的性质,一元一次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.
5、D
【分析】
根据题意得:∠AON=40°,再由等角的余角相等,可得∠BON=∠AON=40°,即可求解.
【详解】
解:根据题意得:∠AON=40°,
∵∠AOE=∠BOW,∠AON+∠AOE=90°,∠BON+∠BOW=90°,
∴∠BON=∠AON=40°,
∴轮船B在货轮的北偏西40°方向.
故选:D
【点睛】
本题主要考查了余角的性质,方位角,熟练掌握等角的余角相等是解题的关键.
6、D
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
解:、,内错角相等,
,故本选项错误,不符合题意;
、,同位角相等,
,故本选项错误,不符合题意;
、,同旁内角互补,
,故本选项错误,不符合题意;
、,它们不是内错角或同位角,
与的关系无法判定,故本选项正确,符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题考查的是平行线的判定,解题的关键是熟知同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行的知识.
7、D
【分析】
列方程求出这个角即可.
【详解】
解:设这个角为x,
列方程得:x=5(180°−x)
解得x=150°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了补角,若两个角的和等于180°,则这两个角互补,列方程求出这个角是解题的关键.
8、A
【分析】
如图,根据AECF,得到∠CGB=41°,根据ABCD,即可得到∠C=139°..
【详解】
解:如图,∵AECF,
∴∠A=∠CGB=41°,
∵ABCD,
∴∠C=180°-∠CGB=139°.
故选:A
【点睛】
本题考查了平行线的性质,熟知平行线的性质是解题关键.
9、D
【分析】
设首次重合需要的时间为t秒,则OE比OF要多旋转120゜+75゜,由此可得方程,解方程即可.
【详解】
∵∠BOD=∠AOC=30゜,OE⊥AB
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜,∠AOD=180゜ - ∠AOC=150゜
∵OF平分∠AOD
∴
∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜
设OE、OF首次重合需要的时间为t秒,则由题意得:18t−3t=120+75
解得:t=13
即射线OE,OF重合时,至少需要的时间是13秒
故选:D
【点睛】
本题考查了角平分线的性质,补角的含义,垂直的定义,角的和差运算,运用了方程思想来解决,本题的实质是行程问题中的追及问题.
10、B
【分析】
根据举反例可判断①,根据垂线的定义可判断②,根据举反例可判断③,根据平行线的基本事实可判断④.
【详解】
解:①如图∠AOC=∠2=150°,∠BOC=∠1=30°,满足∠1+∠2=180°,射线OC是两角的共用边,但∠1与∠2不是邻补角,故①不正确;
②在同一个面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故②不正确;
③如图直线a、b被直线c所截,∠1与∠2是同位角,但∠1>∠2,故③不正确;
④经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,是基本事实,故④正确;
其中正确的有④一共1个.
故选择B.
【点睛】
本题考查基本概念的理解,掌握基本概念是解题关键.
二、填空题
1、34°
【分析】
根据角平分线的性质可求出的度数,然后由平行线的判定与性质即可得出的度数.
【详解】
解:平分,
又
故答案为
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质,灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键.
2、38°6′
【分析】
根据余角的和等于90°列式计算即可求解.
【详解】
解:∵α=25°57′,
∴2α=51°54′,
∴2α的余角=90°﹣51°54′=38°6′.
故答案为:38°6′.
【点睛】
此题主要考查角度的计算,解题的关键是熟知余角的性质.
3、3 180° AB CD 同旁内角互补,两直线平行
【分析】
先根据对顶角相等求得∠3的度数,进而得到∠2+∠3=180°,即可判定AB∥CD.
【详解】
证明:∵AB被直线GH所截,∠1=112°,
∴∠1=∠3=112°
∵∠2=68°,
∴∠2+∠3=180°,
∴AB∥CD,(同旁内角互补,两直线平行)
故答案为∠3,180°,AB,CD,同旁内角互补,两直线平行.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定,两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
4、
【分析】
先根据邻补角互补求出∠AOC=150°22′,再由角平分线的定义求解即可.
【详解】
解:∵∠BOC=29°38′,∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=150°22′,
∵OD平分∠AOC,
∴,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了邻补角互补,角度制的计算,角平分线的定义,熟知相关知识是解题的关键.
5、20
【分析】
利用角平分线的定义求解再由可得再列方程求解即可.
【详解】
解: BD平分,,
由,
而,
解得:
所以当时,,
故答案为:
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义,平行线的判定与性质,一元一次方程的应用,掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
三、解答题
1、(1)MR//NP;(2)MR//NP,理由见解析;(3)MR⊥NP,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据AB∥CD,得出∠EMB=∠END,根据MR平分∠EMB,NP平分∠EBD,得出,可证∠EMR=∠ENP即可;
(2)根据AB∥CD,可得∠AMN=∠END,根据MR平分∠AMN,NP平分∠EBD,可得,得出∠RMN=∠ENP即可;
(3设MR,NP交于点Q,过点Q作QG∥AB,根据AB∥CD,可得∠BMN+∠END=180°,根据MR平分∠BMN,NP平分∠EBD,得出,计算两角和∠BMR+∠NPD=,根据GQ∥AB,AB∥CD,得出∠BMQ=∠GQM,∠GQN=∠PND,得出∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°即可.
【详解】
证明:(1)结论为MR∥NP.
如题图1∵AB∥CD,
∴∠EMB=∠END,
∵MR平分∠EMB,NP平分∠EBD,
∴,
∴∠EMR=∠ENP,
∴MR∥BP;
故答案为MR∥BP;
(2)结论为:MR∥NP.
如题图2,∵AB∥CD,
∴∠AMN=∠END,
∵MR平分∠AMN,NP平分∠EBD,
∴
∴∠RMN=∠ENP,
∴MR∥NP;
(3)结论为:MR⊥NP.
如图,设MR,NP交于点Q,过点Q作QG∥AB,
∵AB∥CD,
∴∠BMN+∠END=180°,
∵MR平分∠BMN,NP平分∠EBD,
∴,
∴∠BMR+∠NPD=,
∵GQ∥AB,AB∥CD,
∴GQ∥CD∥AB,
∴∠BMQ=∠GQM,∠GQN=∠PND,
∴∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°,
∴MR⊥NP,
【点睛】
本题考查平行线性质与判定,角平分线定义,角的和差,掌握平行线性质与判定,角平分线定义,角的和差是解题关键.
2、(1)90,BO;(2)①∠1=∠3,1,3,1,∠1=∠3;②2,∠AOA'、∠BOB';③∠
【解析】
【分析】
(1)图中三角板ABO绕着点O逆时针旋转90°后得到△O,可知∠BO即为旋转角度,即∠BO=90°;已知∠AOB=45°,可知∠AO=45°,即OA平分∠BO;
(2)①根据所给出的证明过程进行填空即可;
②由①可知,∠1=∠3,∠1+∠AOA'=180°,∠3+∠BOB=180°,可知∠1的补角有2个,分别为∠AOA'、∠BOB;
③根据图形进行转化即可得出∠2的余角.
【详解】
解:(1)此时∠BO= 90 °,OA平分∠ BO ;
(2)①∠1=∠2(相等)
理由如下:因为∠DOC=45°,
所以∠2+∠3=45°.
又因为∠ 1 +∠2=45°
所以∠2+∠ 3 =∠ 1 +∠2
所以∠1=∠3
②由图可知,∠1+∠AOA'=180°,∠3+∠BOB=180°,
∵∠1=∠3,
∴∠1的补角有2个,分别为∠AOA'、∠BOB' ,
③由图可知,∠2+∠1=45°,
∴∠2=45°-∠1,
即∠2的余角为:90°-(45°-∠1)=45°+∠1=45°+∠3=∠,
故:∠2的余角为∠.
【点睛】
本题主要考查的是角度中的基础定义,熟练掌握其中的定义是解本题的关键.
3、(1)∠COD=35°;∠EOC=55°;(2)∠COD+∠EOC;理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的定义直接可得∠COD,根据邻补角求得,进而根据角平分线的定义求得;
(2)根据平角的定义以及角平分线的定义,可得∠COD+∠EOC=(∠BOC+∠AOC)=90°,即可求得∠COD与∠EOC的数量关系.
【详解】
解:(1)∵OD平分∠BOC,∠BOC=70°,
∴∠COD=∠BOC=35°,
∵∠BOC=70°,
∴∠AOC=180°-∠BOC=110°,
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC=∠AOC=55°.
(2)∠COD+∠EOC=90°,理由如下:
∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,
∴∠COD=∠BOC,∠EOC=∠AOC,
∴∠COD+∠EOC=(∠BOC+∠AOC)=90°,
∴∠COD+∠EOC.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义,求一个角的补角,平角的定义,理解角平分线的意义是解题的关键.
4、(1)40°;(2)见解析;(3)70°
【解析】
【分析】
(1)过点F作FN∥AB,由∠FEB=150°,可计算出∠EFN的度数,由∠EFG=90°,可计算出∠NFG的度数,由平行线的性质即可得出答案;
(2)根据题目补充理由和相关结论即可;
(3)类似(2)中的方法求解即可.
【详解】
解:(1)过点F作FN∥AB,
∵FN∥AB,∠FEB=130°,
∴∠EFN+∠FEB=180°,
∴∠EFN=180°﹣∠FEB=180°﹣130°=50°,
∵∠EFG=90°,
∴∠NFG=∠EFG﹣∠EFN=90°﹣50°=40°,
∵AB∥CD,
∴FN∥CD,
∴∠FGC=∠NFG=40°.
故答案为:40°;
(2)如图②,过点E作EM∥FG,交CD于点M.
∵AB∥CD(已知)
∴∠BEM=∠EMC(两直线平行,内错角相等)
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EMC(两直线平行,同位角相等)
∠EFG+∠FEM=180°(两直线平行,同旁内角互补)
即∠FGC=(∠BEM)(等量代换)
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEM=(∠FEM)
又∵∠EFG=90°
∴∠FEM=90°
∴∠FEB﹣∠FGC=90°
故答案为:两直线平行,内错角相等,两直线平行,同位角相等,两直线平行,同旁内角互补,∠BEM,∠FEM,90°
(3)过点E作EH∥FG,交CD于点H.
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠EHC
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EHC
∠EFG+∠FEH=180°
即∠FGC=∠BEH
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEH=∠FEH
又∵∠EFG=110°
∴∠FEH=70°
∴∠FEB﹣∠FGC=70°
故答案为:70°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键.
5、36°
【解析】
【分析】
利用余角的性质,角的平分线的定义,角的和差计算法则计算即可.
【详解】
∵∠AOD=90°,∠COD=27°,
∴∠AOC=∠AOD-∠COD=90°-27°=63°;
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠AOC=∠BOC=63°;
∴∠BOD=∠BOC -∠COD=63°-27°=36°.
【点睛】
本题考查了几何图形中的角的计算,角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线,余角的性质,正确理解图形和图形中的角的关系是解题的关键.
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