寒假作业1 第一章空间向量与立体几何 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业1 第一章空间向量与立体几何 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，若，则的值为（ ）
A．B．2C．6D．8
2．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（ ）
A．α⊥βB．α∥β
C．α与β相交但不垂直D．以上都不对
3．若向量＝(1,λ,0),＝(2,－1,2)，且与的夹角余弦值为，则实数λ等于( )
A．0B．－C．0或－D．0或
4．向量，其中为线段的中点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
5．若与共线，则（ ）
A．2B．C．4D．
6．若、两点的坐标分别是，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知点 在平面内，平面法向量， 则下列点在内的是（ ）
A．B．C．D．
10．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（ ）
A．B． C． D．
11．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为，，若〈，〉＝，则二面角α－l－β的大小为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知向量，，若与垂直，则___________.
14．在单位正方体中，分别为的中点，则___________.
15．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
16．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．
四、解答题
17．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
（1）试用、、表示；
（2）求的长度.
18．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
19．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
20．如图，在长方体中，点，分别是，的中点，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知平面，底面为矩形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
22．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
参考答案
1．C
【分析】
根据向量垂直的性质计算得到答案.
【详解】
，，
则，解得.
故选：C.
2．B
【分析】
由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故选：B.
3．C
【分析】
利用向量夹角的数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量＝(1,λ,0),＝(2,－1,2)，且与的夹角余弦值为，
,解得：0或－.
故选：C
4．C
【分析】
直接用中点坐标公式即可得出结论.
【详解】
∵，
∴由中点坐标公式可得，线段的中点的坐标为.
故选：.
5．D
【分析】
根据与共线，由求解.
【详解】
∴与共线，
∴，即，
∴，.
故选：D
6．B
【分析】
利用向量模的坐标运算求得的表达式，结合三角函数的知识求得的取值范围.
【详解】
，
，
，
所以.
故选：B
7．C
【分析】
建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.
【详解】
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.
故选：C
8．B
【分析】
利用空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
9．AC
【分析】
验证各选项中的点与点连线的方向向量是否与垂直，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，记点，，，点在平面内；
对于B选项，记点，，，点不在平面内；
对于C选项，记点，，，点在平面内；
对于D选项，记点，，，点不在平面内.
故选：AC.
10．BC
【分析】
直接利用相等向量的定义即可求解．
【详解】
解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有3个，
分别是，，．
故选：BC．
11．AB
【分析】
由二面角的定义可以得出结论.
【详解】
解：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大为或.
故选：AB.
12．ABC
【分析】
求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．
【详解】
在等边中，，所以，则，，则.
故选：ABC
13．
【分析】
根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.
【详解】
解：与垂直，，
则，解得：，
，
则，
.
故答案为：.
14．##
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算.
【详解】
正方体的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
.
故答案为：
15．
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角．
【详解】
以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：．
16．
【分析】
根据题意得，进而得，即，再结合题意求解即可.
【详解】
解：因为四棱锥中，四边形为菱形，
所以，所以，所以．
所以，，，故．
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与、、的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】
（1）.
（2），，
∴.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..
【详解】
（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于＝(0，1，－1)，
则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN⊄平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
则，
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
19．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】
据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
20．（1）；（2）在线段上不存在点，使得平面，理由见解析.
【分析】
（1）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角的余弦值；
（2）假设在线段上存在一点，使得平面，设点的坐标为，由（1）可知平面的一个法向量为，证明与不平行，故可得出不存在点满足条件.
【详解】
（Ⅰ）以点为坐标原点，直线，，为分别轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，因为点，分别是，的中点，，，
所以，，2，，，．
所以，．
设平面的法向量为，
所以即
令，则，．所以．
由题知，平面的一个法向量为，
所以．
又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值是．
（Ⅱ）解：假设在线段上存在一点，使得平面．
设点的坐标为，，．所以．
因为平面的一个法向量为，
所以与不平行．
所以在线段上不存在点，使得平面．
21．
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，进而可证明平面；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夹角公式代入求解.
（1）
取的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，又为的中点，底面为矩形，∴且，∴且，故四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面
（2）
由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，所以，故，设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明平面，只需证明，即可；
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.
【详解】
（1）由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，则.
【点晴】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.