2021-2022学年寒假高二数学选择性必修一第3章提高卷1（新人教）

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姓名：___________班级：___________学号：___________
试卷说明：
1．试题范围：选择性必修一第3章1-3节；建议时长：60分钟
2．答题前填写好自己的姓名、班级、学号等信息
3．请将答案正确填写到相应的答题区域
一、单项选择题：本题共6小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故，则准线为，故选D.
2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则实数（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】由题可得，解得.
【知识点】双曲线的渐近线方程
【难度】0.8
3.“”是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为曲线为焦点在轴上的椭圆，所以解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选A.
4.若直线与抛物线相切于点，点到该抛物线的焦点的距离，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可知抛物线的准线方程为，，
∵点到该抛物线的焦点的距离为，∴点到准线的距离为，即，，代入抛物线方程求得，故或，当点的坐标为时，设，与抛物线方程联立得，则，解得，故，故点到的距离为，由对称性可知，当点的坐标为时，点到的距离为.故选A.
5.设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为.是上一点，，若的面积为1，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】，由题可知为直角三角形，，根据椭圆的定义可得，设，则，故解得，故选B.
6.过抛物线的焦点作相互垂直的两条直线，分别交抛物线于、、、四点，则四边形面积的最小值为（ ）
A．512B．256C．128D．
【答案】A
【解析】①当，有一条不存在斜率时，四边形不存在；
②当，都存在斜率时，设直线方程，直线方程，与抛物线联立得整理得，则，同理，则，当且仅当时，取得最小值512，故选A.
二、多项选择题。
7.已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点、，且，（为坐标原点），则下列表述正确的有（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为
D．在平面直角坐标系中，以线段为直径的圆与椭圆有两个交点
【答案】AD
【解析】由题可得，解得，故直线过右焦点，又，所以，故A正确，B错误；又，解得，故C错误；以线段为直径的圆方程为.与椭圆联立得整理得，因为，又由可得，中至少有一个大于，结合对称性，可知在平面直角坐标系中，以线段为直径的圆与椭圆有两个交点，故D正确，故选AD.
8.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，、为双曲线的左右焦点，、为双曲线的左、右顶点，为双曲线上的动点，点关于轴的对称点为，为坐标原点，则（ ）
A．B．
C．D．直线与直线的斜率乘积为定值
【答案】ACD
【解析】由题可知，故，A正确；
为线段中点，所以，，B错误；
记点，则，所以，，，C正确；
由题意得，，D正确，故选ACD.
三、填空题：本题共2小题。
9.已知双曲线的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则双曲线的标准方程为________.
【答案】
【解析】设所求双曲线方程为，
将和B的坐标代入方程得解得所求双曲线的标准方程为.
【知识点】双曲线的标准方程
【难度】0.8
10.椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点，、两点的坐标分别为，，若，且内切圆的面积为，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】由题可得的内切圆半径为1，由椭圆定义得的周长为，所以，化简得.
四、解答题：本题共2小题。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
11.已知抛物线的焦点为，点到抛物线上任一点的最短距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于、两点，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为，连接，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】解：（1）抛物线的准线为，……2分
设抛物线上一点坐标为，则，……5分
故点到抛物线上任一点的最短距离为，则，故，……7分
故抛物线方程为；……9分
（2）设直线方程为，，，，
与抛物线方程联立得整理得，……11分
，，，……13分
直线方程为，……18分
故直线过定点.……20分
12.已知圆，点，为圆上动点，线段的垂直平分线与直线 交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于、两点，交轴于点，求证是定值，并求出该定值.
【答案】见解析
【解析】解：（1）由题可知，所以，……4分
所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且实轴长为2，……7分
∴点轨迹的方程为；……10分
（2）设，，
由题可知，直线斜率存在，且不与双曲线的渐近线平行，……11分
设直线的方程为，，……12分
与双曲线联立得，
消去得，，……14分
，，……15分
则.……19分
故是定值.……20分