2021-2022学年寒假高二数学选择性必修一第2章提高卷2（新人教）

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姓名：___________班级：___________学号：___________
试卷说明：
1．试题范围：选择性必修一第2章1-5节；建议时长：60分钟
2．答题前填写好自己的姓名、班级、学号等信息
3．请将答案正确填写到相应的答题区域
一、单项选择题：本题共6小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得直线的斜率为，故倾斜角为，故选C.
2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：直线的斜率，且直线过原点，
所以直线的方程为，
圆的方程化为：，即圆心为，半径，
设直线与圆的交点分别为（为坐标原点），，圆与轴的另一个交点为（异于点），可得为直角三角形，，由，可得，故选A.
3.直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线方程可化为，可知直线恒过点，故选B.
4.若圆与圆相交，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，有，若两圆相交，有解得，故选D.
5.设，是关于的方程（其中）的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．随，的变化而变化
【答案】A
【解析】依题意可知直线的方程可写为，
即，
而，，
则直线的方程为.
从而圆心到直线的距离，即直线与圆相切，故选A.
6.已知点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，由，可得，有，有，可知直线与圆有交点，有，解得，故选C.
二、多项选择题。
7.设直线经过点，且与两坐标轴相交于，两点，若的面积为，则直线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】设直线的方程为，整理为，可得点，，有，可得.当时，方程可化为，整理为，解得或4，可得直线方程为或；当时，方程可化为，整理为，此方程无解.故所求直线方程为或，故选BC.
8.直线与圆相交于，两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．坐标原点在圆的内部B．的最大值为6
C．的最小值为3D．不存在实数，使得为等边三角形
【答案】ABD
【解析】由，可知原点在圆的内部，选项A正确；
当直线过圆的圆心时，，此时最大，选项B正确；
由直线过点，当时，最小，，，选项C不正确；
当为等边三角形时，圆的圆心到直线的距离为，可得，整理为，由，可知方程无解，选项D正确，故选ABD.
三、填空题：本题共2小题。
9.经过三点，，的圆的一般方程为________.
【答案】
【解析】设所求圆的一般方程为，
代入三点的坐标有
解得，，.
故所求圆的一般方程为.
10．若曲线恰有三个点到直线的距离为1，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】曲线表示圆的右半部分，直线的斜率为1，（如图），
设满足条件的两条临界直线分别为和，
根据题意，曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，因此其中两个交点必须在直线（过点和直线之间，
设到直线的距离为1，可得，
解得，或（舍去），
直线的截距为，
设直线为圆的切线，则直线的方程为，
由到的距离为1可得，
解方程可得，即直线的截距为，
到直线的距离为1时，，
解得，
根据题意可知，直线在和之间，
的取值范围为：，．
故答案为：，．
四、解答题：本题共2小题。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
11.在平面直线坐标系中，过点作直线分别交，轴正半轴于，两点.
（1）求面积的最小值；
（2）求的最小值.
【答案】见解析
【解析】解：设直线，∵直线经过点，∴，……3分
（1）∵，∴，当且仅当，时等号成立，……9分
故面积的最小值为；……11分
（2）∵，，，
∴，……16分
当且仅当，时等号成立，……19分
∴的最小值为25.……20分
12.已知圆的圆心为直线和的交点，轴被圆所截得的线段的长度为2.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆心在直线上，并且经过圆和圆的交点的圆的方程.
【答案】见解析
【解析】解：（1）联立方程解得可得圆的圆心标为……2分
设圆的标准方程为，……3分
令时，可得，……5分
有，解得，……6分
故圆的标准方程为；……7分
（2）圆的一般方程为，……8分
圆的一般方程为，……9分
设所求圆的方程为，其中，……11分
整理为，……12分
可化为，……13分
可得圆心坐标为，……15分
代入直线方程，有，解得，……18分
所求方程为，……19分
故所求圆的方程为.……20分