2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　高效演练分层突破学案

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1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B．eq \f(3\r(3),5)
C.eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).故选D.
2．(2020·河南天一大联考阶段性测试(五))已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝eq \f(3,5)，则sin 4x的值为( )
A.eq \f(7,25) B．±eq \f(7,25)
C.eq \f(18,25) D．±eq \f(18,25)
解析：选A.因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝eq \f(\r(2),2)(cs 2x－sin 2x)＝eq \f(3,5)，
所以sin 2x－cs 2x＝－eq \f(3\r(2),5)，
所以(sin 2x－cs 2x)2＝1－2sin 2xcs 2x＝1－sin 4x＝eq \f(18,25)，所以sin 4x＝eq \f(7,25)，故选A.
3．(2020·江西九江二模)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9)))＝2cs αsin eq \f(π,9)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,18))))＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：选B.因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9)))＝2cs αsin eq \f(π,9)，
所以sin αcs eq \f(π,9)－cs αsin eq \f(π,9)＝2cs αsin eq \f(π,9)，
所以sin αcs eq \f(π,9)＝3cs αsin eq \f(π,9).
所以tan α＝3 tan eq \f(π,9)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,18))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,9))))
＝eq \f(sin αcs\f(π,9)－cs αsin\f(π,9),sin αcs \f(π,9)＋cs αsin \f(π,9))＝eq \f(tan α－tan \f(π,9),tan α＋tan \f(π,9))＝eq \f(2tan \f(π,9),4tan \f(π,9))＝eq \f(1,2).
故选B.
4．(2020·福建龙岩教学质量检查)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，且3sin α＋2cs α＝2，则tan eq \f(α,2)等于( )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(3,2)
解析：选D.3sin α＋2cs α
＝eq \f(6sin \f(α,2) cs \f(α,2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))
＝eq \f(6tan \f(α,2)＋2－2tan2\f(α,2),tan2\f(α,2)＋1)＝2，
所以3tan eq \f(α,2)＋1－tan2eq \f(α,2)＝tan2eq \f(α,2)＋1，解得taneq \f(α,2)＝0或eq \f(3,2)，又α∈(0，π)，所以tan eq \f(α,2)≠0，所以tan eq \f(α,2)＝eq \f(3,2)，故选D.
5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A.eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12)
C.eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
解析：选D.因为3π≤θ≤4π，所以eq \f(3π,2)≤eq \f(θ,2)≤2π，所以cs eq \f(θ,2)≥0，sin eq \f(θ,2)≤0，则 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \r(cs2\f(θ,2))＋eq \r(sin2\f(θ,2))＝cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6),2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)＋2kπ或eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq \f(π,6)＋4kπ或θ＝－eq \f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)，故选D.
6.eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(1－cs 80°))的值为________．
解析：原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°)),\r(2sin240°))＝eq \f(2sin 40°,\r(2)sin 40°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))))，若eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为sin α＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以cs α＝eq \f(3,5).由eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，得sin(α＋β)＝2cs[(α＋β)－α]，即eq \f(6,5)cs(α＋β)＝eq \f(13,5)sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝eq \f(6,13).
答案：eq \f(6,13)
8．设α是第四象限角，若eq \f(sin 3α,sin α)＝eq \f(13,5)，则tan 2α＝________．
解析：eq \f(sin 3α,sin α)＝eq \f(sin（α＋2α）,sin α)＝eq \f(sin αcs 2α＋cs αsin 2α,sin α)
＝cs 2α＋2cs2α＝4cs2α－1＝eq \f(13,5)，解得cs2α＝eq \f(9,10).
因为α是第四象限角，所以cs α＝eq \f(3\r(10),10)，sin α＝－eq \f(\r(10),10)，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(3,5)，cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(4,5)，
所以tan 2α＝－eq \f(3,4).
答案：－eq \f(3,4)
9．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cs β＝eq \f(\r(5),5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得sin β＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,2)<α＋β所以α＋β＝eq \f(5π,4).
10．已知函数f(x)＝4tan x·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
所以2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))，
由y＝sin x的图象可知，当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,2)))，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))时，f(x)单调递减；当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))时，f(x)单调递增．
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减．
[综合题组练]
1．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且tan α＝eq \f(1＋sin 2β,cs 2β)，则下列结论中正确的是( )
A．α－β＝eq \f(π,4) B．α＋β＝eq \f(π,4)
C．2α－β＝eq \f(π,4) D．2α＋β＝eq \f(π,4)
解析：选A.tan α＝eq \f(1＋sin 2β,cs 2β)＝eq \f(（sin β＋cs β）2,cs2β－sin2β)＝eq \f(cs β＋sin β,cs β－sin β)＝eq \f(1＋tan β,1－tan β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以α＝β＋eq \f(π,4)，即α－β＝eq \f(π,4).
2．若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B．eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D．eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
解析：选A.因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).
又0所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，
所以β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,12)))，
所以cs 2α＝－eq \r(1－sin22α)＝－eq \f(2\r(5),5).
又sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs(β－α)＝－eq \r(1－sin2（β－α）)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]
＝cs 2αcs(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,12)，2π))，
所以α＋β＝eq \f(7π,4)，故选A.
3．若sin αcs β＝eq \f(3,4)，则cs αsin β的取值范围为________．
解析：因为sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
＝eq \f(3,4)＋cs αsin β∈[－1，1]，
所以－eq \f(7,4)≤cs αsin β≤eq \f(1,4).
同理sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(3,4)－cs αsin β∈[－1，1]，
所以－eq \f(1,4)≤cs αsin β≤eq \f(7,4).
综上可得，－eq \f(1,4)≤cs αsin β≤eq \f(1,4).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,4)))
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋β))＝－eq \f(12,13)，则cs(α＋β)＝________．
解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，eq \f(π,4)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(4,5)，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋β))＝－eq \f(12,13)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(12,13)，
又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，eq \f(π,4)＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(5,13)，
所以cs(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝eq \f(3,5)×eq \f(5,13)－eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝－eq \f(33,65).
答案：－eq \f(33,65)
5．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(1,2)(sin 4x＋cs 4x)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，最大值为eq \f(\r(2),2).
(2)法一：因为f(α)＝eq \f(\r(2),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以4α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).
所以4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,2).故α＝eq \f(9π,16).
法二：因为f(α)＝eq \f(\r(2),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1.
所以4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
所以α＝eq \f(π,16)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以当k＝1，即α＝eq \f(9π,16)时，符合题意．
故α＝eq \f(9π,16).
6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cs(x－α)cs α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域．
解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，eq \r(3))，
所以sin α＝eq \f(1,2)，cs α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \f(\r(3),3).
所以sin 2α－tan α＝2sin αcs α－tan α＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),6).
(2)因为f(x)＝cs(x－α)cs α－sin(x－α)sin α＝cs x，x∈R，
所以g(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2cs2x
＝eq \r(3)sin 2x－1－cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1，
因为0≤x≤eq \f(2π,3)，
所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(7,6)π，
所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，
所以－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1≤1，
所以g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域为[－2，1]．